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解讀高中數學中的抽象函數
抽象函數問題是高中函數中的一類綜合性比較強的問題，學生往往感到無從下手。解決這類問題要求學生抽象思維能力、綜合運用數學知識的能力較強，但是，教師只要引導學生準確掌握所學基本初等函數的圖象和性質，分清是哪一類函數的抽象，可以優化思路，使問題難度降低，從而得以解決。以下是小編整理的解讀高中數學中的抽象函數，歡迎閱讀。
解讀高中數學中的抽象函數
下面舉例說明:
形如f(x+y)=f(x)+f(y)+m(m為常數)
思路:看作 一次函數的抽象，聯想一次函數的圖象及性質。特例:m=0時，聯想過原點的直線。
例1.函數f(x)對任意的a、b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且當x>0時，f(x)>1.
(1)求證:f(x)是R上的增函數;
(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3.
(1)證明:設x10，
∵x>0時，f(x)>1
∴f(x2-x1)>1，
∵f(x2)-f(x1)=f(x1+x2-x1)-f(x1)
=f(x1)+f(x2-x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0
(2) ∵f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5，∴f(2)=3.
又f(x)是R上的增函數，
∴f(3m2-m-2)<3 f(3m2-m-2)
∴f(x)是R上的增函數.∴f(3m2-m-2)<3
f(3m2-m-2)
3m2-m-2<2 -1
解得不等式解集為{m|-1
點評 1.回歸定義，充分運用已知條件:x>0時，f(x)>0 △x=x2-x1>0，f(x2-x1)>1
2.等價轉化思想:運用函數的單調性，去掉函數符號，轉化為解關于m的不等式。
思路:聯想冪的運算性質，可看作指數函數的抽象，結合指數函數的圖象和性質進行解題。
抽象函數問題，需要綜合運用函數的奇偶性，單調性，周期性，對稱性等性質，應用分析，邏輯推理，聯想類比等數學思想方法。
常見題型有:
①求抽象函數的某一函數值:根據函數結構特征，用賦值法。
②判(證)抽象函數的單調性:類比所學具體函數，充分運用已知條件，對變量合理賦值。
③解關于抽象函數的不等式:一看定義域，一看單調性。
只要掌握相應的解題策略，問題便會化難為易，迎刃而解。
抽象函數解析
一、求抽象函數的定義域
1. 若已知函數f [g(x)]的定義域為x∈(a，b)，求函數f(x)。
解決這類問題的方法是：利用a 例1. 已知函數f(x+1)的定義域是[-2，3]，求y=f(x)的定義域。
解：因為函數f(x+1)的定義域是[-2，3]，所以-2≤x≤3
所以-1≤x+1≤4， 因此y=f(x)的定義域是[-1，4]
2. 若已知函數f(x)的定義域為x∈(a，b)，求f [g(x)]函數的定義域。
解決這類問題的方法是：a 例2. 已知函數f(x)的定義域為(0，1]，求函數g(x)=f(x+a)+f(x-a)(- 解：因為函數f(x)的定義域為(0，1]
所以0 由于- 所以不等式組(Ⅰ)的解為-a 即g(x)=f(x+a)+f(x-a)(-
二、抽象函數的周期性和奇偶性
1. 抽象函數的周期性
例3. 定義在R上的函數f(x)滿足f(x)=-f(x+2)，且當x∈(-1，1]時，f(x)=x2+2x，
求當x∈(3，5]時，f(x)的解析式。
解：∵f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)
∴f(x)是以4為周期的周期函數
設x∈(3，5]時，則-1 ∴f(x)=f(x-4)=(x+4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3 評注：若對函數f(x)定義域內的任意，恒有下列條件之一成立(以下式子分母不為零，a≠0)
①f(x+a)=-f(x) ②f(x+a)= ③f(x+a)=-
④f(x+a)=- ⑤f(x+a)=- ⑥f(x+a)=f(x-a)
則函數f(x)是以2a為周期的周期函數①
2. 抽象函數的奇偶性
奇、偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據，有時為了便于判斷函數的奇偶性，也往往需要先將函數進行化簡，或運用定義的等價形式，但對于抽象函數的奇偶性的判斷主要是用賦值法，構造出定義的形式。
例4. 已知定義在上的函數f(x)，對于任意x，y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0
(1)求f(0)的值
(2)判斷函數f(x)的奇偶性
解：(1)令x=y=0，則有2f(0)=2[f(0)]2 ∵f(0)≠0∴ f(0)=1
(2)令x=0，得f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)
所以f(-y)=f(y)這說明函數f(x)是偶函數。
三、抽象函數圖像的對稱變換
結論1：①函數y=f(-x)與函數y=f(x)的圖像關于y軸對稱;
②函數y=-f(x)與函數y=f(x)的圖像關于軸對稱;
③函數y=-f(-x)與函數y=f(x)的圖像關于原點軸對稱;
④函數y=f-1(x)與函數y=f(x)的圖像關于直線y=x軸對稱。
結論2：若對定義域內的一切x均有f(x+m)=f(n-x)成立，則函數y=f(x)的圖像關于直線x= 對稱。
結論3：函數y=f(x+a)與y=f(-x+b)的圖像關于直線x=對稱(a，b為常數)。
例5. 設函數y=f(x)的定義域為，則函數y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖像關于( )
A. 直線y=0對稱 B. 直線x=0對稱
C. 直線y=1對稱 D. 直線x=1對稱
錯解：因為函數y=f(x)的定義域為R，且f(x-1)=f(1-x)，所以函數y=f(x)的圖像關于直線x=0對稱，故選擇B。
錯解分析：錯誤的原因是將兩個不同的對稱問題混為一談，即將兩個不同函數圖像的對稱問題，錯誤地當成一個函數的圖像對稱問題，從而導致錯誤。
正解：因為函數y=f(x)的定義域為R，而y=f(x-1)的圖像是y=f(x)圖像向右平移1個單位而得到的f(1-x)=f[-(x-1)]的圖像是y=f(-x)圖像向右平移1個單位而得到的，又因為f(x)與f(-x)的圖像關于y軸對稱，因此函數y=f(x-1)與y=f(1-x的圖像關于直線x=1對稱，故應該選擇D。
四、求抽象函數的解析式
解決抽象函數解析式的問題，關鍵是構造出函數f(x)。通常采取賦值法，賦予恰當的數值或代數式后，通過合理運算推理，最后得出結論。
例6. 已知f(0)=1，f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)，求函數f(x)的解析式。
解：令a=0，則 f(-b)=f(0)-b(-b-1)=1+b(b-1)=b2-b+1
再令-b=x，即得f(x)=x2+x+1
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