一、剩余定理的特殊情況
(1)余同(余數相同)：除數的最小公倍數+余數
例題1：三位數的自然數P滿足：除以4余2，除以5余2，除以6余2，則符合條件的自然數P有多少個?
A.120 B.122 C.121 D.123
【答案】B。
【解析】一個數除以4、5、6均余2，余數相同，屬于余同，因此這個數滿足通項公式N=60n+2 ，(n=0,1,2,3……)，當n=2時，N=122,選擇B項。
(2)和同(除數和余數的和相同)：除數的最小公倍數+和(除數加余數的和)
例題2：三位數的自然數P滿足：除以5余3，除以6余2，除以7余1，則符合條件的自然數P有多少個?
A.3 B.2 C.4 D.5
【答案】D。
【解析】此題除數與余數的和相加均為8，則該自然數應滿足N=210n+8(n=0,1,2……)，因此在0至999以內滿足題干條件的自然數有8，218，428，638，848五個數，因此選D。
(3)差同(除數減余數之差相同)：除數的最小公倍數-差(除數減余數的和)
例題3：某校三年級同學，每5人一排多1人，每6人一排多2人，每7人一排3多人，問這個年級至少有多少人?
A.206 B.202 C.237 D.302
【答案】A。
【解析】
方法一：代入排除法(略)。
方法二：通過觀察發現除數與余數的差均為4，所以此數滿足：N=210n-4(n=1,2,3……)，當n=1時，算得次數為206，因此選A。
二、剩余定理的一般情況
例題4：一個自然數P同時滿足除以3余1，除以4余3，除以7余4，求滿足這樣條件的三位數共有多少個?
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】B。
【解析】先取其中兩個條件，除以3余1，除以4余3，即P=4n+3=3a+1，等式兩邊同時除以3，等式左邊的余數為n,等式右邊的余數為1，即n=1,代入上式可知滿足上述兩個條件的最小的數為7，則同時滿足上述兩條件的數的通項公式為P=12n+7……①，再將①式所得的條件與題干中除以7余4的條件組合成新的條件。即滿足題干中三個條件的數P=12n+7=7b+4，等式兩邊同時除以未知數較小的系數7，則左邊余數為5n，等式右邊的余數是4，也可認為余數是25，即5n=25，求解得n=5，代入到①式中，即同時滿足題干中三個條件的最小的自然數P=67，則滿足題干三個條件的數的通項公式為P=84n+67(n=0,1,2,3……)即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11，即符合題意的數共有11-1+1=11個數。
例題5：一個自然數P同時滿足除以11余5，除以7余1，除以5余2，求滿足這樣條件的三位數共有多少個?
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】D。
【解析】通過觀察會發現前兩個條件屬于差同，所以滿足前兩個條件的數的通項公式P=77n-6(n=0,1,2,3……)，即100≦77n-6≦999可求得2≦n≦13，即符合題意的數共有13-2+1=12個數，因此選D。
從上面的例題中我們可以總結出以下關系：
如果一個數Q除以m余數是a，除以n余數是a，除以t余數是a，那么這個數Q可以表示為：
Q=a+(m、n、t的最小公倍數) N，N為整數，a是相同的余數。
如果一個數Q除以m余數是a-m，除以n余數是a-n，除以t余數是a-t，那么這個數Q可以表示為：
Q=a+(m、n、t的最小公倍數) N，N為整數，a是除數同余數的加和。
如果一個數Q除以m余數是m-a，除以n余數是n-a，除以t余數是t-a，那么這個數Q可以表示為：
Q=(m、n、t的最小公倍數)-a N-a，N為整數，a為相同的除數和余數的差。
不管題目怎么變化，只要記住這3個關系，在考試中的剩余問題都是可以迎刃而解的。