循環矩陣性質及應用的探討

時間：2025-10-11 23:12:20 電大畢業論文

有關循環矩陣性質及應用的探討

　　下面是一篇電大畢業論文范文——有關循環矩陣性質及應用的探討，歡迎大家閱讀參考!

　　【摘要】本文研究了矩陣中一類重要的矩陣-循環矩陣，介紹了循環矩陣的性質，討論了循環矩陣求逆的方法，并且針對循環矩陣的對角化以及循環矩陣的應用等問題作了進一步探討。

　　【關鍵詞】循環矩陣; 逆矩陣; 對角化

　　1.引言

　　循環矩陣的概念是于1885年首先提出來的, 自提出以來, 直到1950-1955年, Good等人才開始分別對循環矩陣的逆, 行列式及其特征值進行了相應地研究[1].自1950年以來, 循環矩陣被數學界高度重視, 發展迅速, 許多數學工作者對它進行了大量研究, 得出很多成果. 目前有關循環矩陣的問題依然是大家熱于探討的課題.

　　近年來, 循環矩陣類已不斷指引著應用數學和矩陣理論領域中的一個非常積極的和重要的研究方向. 循環矩陣之所以會吸引數學學者和工作者如此大的興趣和孜孜不倦的追求, 是因為它是一類特殊結構, 具有良好性質的矩陣, 而且也是非常重要的矩陣，同時它也是應用非常廣泛的一類矩陣, 比如在編碼理論、理論物理、分子的軌道理論、數理統計與概率、圖像數學處理、固態物理、計算結構等很多的方面應用都比較廣泛. 同時循環矩陣的逆和特征值問題, 在物理方面的力學振動系統設計, 分子結構理論, 線性多變量控制理論及數值分析等領域中也頻繁閃現. 對循環矩陣的研究是矩陣理論的重要組成部分, 且日益成為應用數學領域中一個非常活躍和重要的研究方向.

　　在實際生活中許多的數學模型是有關循環矩陣的, 但目前循環矩陣的理論還不是很完善, 所以數學工作者對循環矩陣的研究仍在不停的繼續. 其中循環矩陣的逆矩陣求法是多國數學工作者研究的一個熱點.在對文獻進行深入討論和研究的基礎上，本文詳細地綜合了以往對循環矩陣的相關研究及結論, 重新證明了以往的部分結論, 繼續研究了循環矩陣的各種性質，并且對循環矩陣的逆矩陣和對角化問題也進行了研究探討，最后給出了循環矩陣的相關應用。

　　2 循環矩陣的定義

　　定義2.1 形如

　　的矩陣稱為循環矩陣.

　　若為實數域上的個數，稱矩陣為實數域上的階循環矩陣，簡記為 ;

　　若為復數域上的個數，稱矩陣為復數域上的階循環矩陣，簡記為 .

　　定義2.2 形如

　　的矩陣稱為基本循環矩陣.

　　顯然 ( 階單位矩陣)都是循環矩陣。由文獻[4]可知任意的階循環矩陣都可以用線性表出，即

　　從上可知如果令 , 則 .稱為階循環矩陣的生成多項式.

　　3 循環矩陣的性質

　　性質3.1 設都是數域上階循環矩陣, 數 , 那么 , 也都是階循環矩陣.

　　性質3.2 兩個循環矩陣的乘積仍為循環矩陣，且 .

　　性質3.3 任一循環矩陣在復數域上都與一個對角矩陣相似.

　　性質3.4 可逆的循環矩陣的逆矩陣仍是循環矩陣.

　　證明由矩陣可逆的定義，我們只要找到可逆的循環矩陣

　　其中( 為待定系數)使得 , 其中為可逆的循環矩陣.

　　設

　　則有

　　由于 , 則有下列方程組成立

　　(3.4)

　　其中為未知數.它的系數矩陣為 ( 表示的轉置矩陣). 由于可逆, 其中 , 所以方程組中有且僅有唯一的解 , 即唯一存在, 從而這樣的就是的逆矩陣, 且也是循環矩陣.

　　性質3.5 可逆的循環矩陣的伴隨矩陣 .

　　證明因為是階可逆的 , 所以 , 因此由性質3.4知,

　　是 . 由此

　　所以是循環矩陣.

　　4.循環矩陣的逆矩陣

　　定理4.1 循環矩陣可逆的充要條件是的生成多項式

　　無單位根.

　　證明構造取

　　其中

　　, .

　　即為所有次單位根. 由于兩兩不同, 所以由范德蒙行列式的性質知矩陣是可逆的, 從而

　　其中

　　因此只要 .則 , 即矩陣可逆. 即循環矩陣可逆的充要條件是方程

　　無單位根.

　　定理4.2 設維向量 ,如果方程的解為，那么

　　例1 求矩陣的逆矩陣.

　　解因為

　　的解為

　　從而

　　定理4.3 ，其中為階矩陣，則

　　(1) 和 .

　　(2)如果和可逆且的逆為

　　，

　　那么

　　. (4.3)

　　根據定理4.3的(2)，求階的逆可以進行分塊矩陣計算，分塊的根據是以

　　階順序主子式為一塊，共分成四塊，這樣就可以將階的逆轉化成一個階的逆，從而給問題的解決帶來很大的簡便.

　　例2 求的逆矩陣.

　　解根據定理(4.3)的結論(2)，將矩陣分塊為

　　其中， , , 可逆，

　　那么

　　= ，

　　從而

　　于是

　　5.循環矩陣的對角化

　　階矩陣關于多項式函數生成的矩陣為，的特征根與的特征根有下面的結論：

　　結論5.1設是一個次多項式函數，若是矩陣的特征根，則是矩陣的特征根.

　　結論5.2設是一個次多項式函數，若矩陣相似于矩陣，則矩陣相似于矩陣 .

　　考察階循環矩陣，的特征多項式為：

　　如果階記為，不難求得與特征值相應的特征向量，記：

　　，

　　則

　　得

　　可以驗證

　　將這個兩兩正交的向量單位化，可得標準正交基

　　令矩陣

　　則

　　于是有下面的結論：

　　結論5.3 任意在復數域，即

　　在一類，如果對角化的矩陣為：

　　由結論5.3，只要令即可得個關于的線性方程組.又由于矩陣及特征根由階矩陣確定，且 .所以，多項式函數中的系數是唯一的 .于是，循環矩陣是唯一的.因此，可得出在一類可對角化的相似矩陣中，一定有且僅有一個循環矩陣.否則，就不對角化.

　　下面給出一個四階循環矩陣的實例：

　　例3 求四階的特征根，并對角化.

　　解令得

　　，

　　由于

　　，

　　所以，的特征根分別為：

　　其中，

　　，

　　可以驗證

　　6.循環矩陣的應用

　　定理6.1 階矩陣可以對角化的充要條件是相似于一個階循環矩陣.

　　證明一方面，若階矩陣與循環矩陣相似，由于可以對角化，所以也可以相似對角化.

　　反過來，若階矩陣可以對角化，總存在階循環矩陣與之相似.

　　事實上，設，若能得到的生成多項式則就被唯一確定了.結合定理4.1的證明過程，令

　　即

　　其中， .

　　這個非齊次線性方程組的系數行列式是范德蒙行列式，從而不等于0，于是該方程組有唯一解，則被唯一確定.

　　此時

　　即

　　, 從而 ,

　　所以存在循環矩陣與矩陣相似.

　　7.結束語

　　本論文更加系統的描述了循環矩陣的性質及其應用。從循環矩陣的定義出發, 把文獻中分散碎化的內容加以總結整理，更加系統全面的總結了循環矩陣的性質，對循環矩陣的部分性質進行了重新的證明, 然后介紹了循環矩陣的逆矩陣的求法和對角化問題。最后給出了一種矩陣對角化方面的應用，它提供了一種矩陣可對角化的條件，利用循環矩陣判斷矩陣是否可以對角化。

　　循環矩陣在物理、數學、計算機等學科有著廣泛的應用，本論文為循環矩陣的深入研究提供了比較系統全面的基礎。

　　8.致謝

　　經過一個多月的時間，在姜東華老師的嚴格要求下終于完成了論文。在寫論文的過程中得到了姜東華老師的精心指導，在此要向老師表示深深的感謝和崇高的敬意，謝謝老師總是在百忙之中抽出時間來為我解答過程中的疑問。此外還要謝謝我的室友和同學在我寫論文過程中的幫助和支持。

　　由于自己知識所限，不免會有不足之處，請老師指正，幫助我更加進步。最后謹向所以幫助和支持過我的領導、老師、同學及親友們表示最誠摯的謝意。

　　參考文獻：

　　[1] Philip Davis. Circulant Matrices[M], Wiley, New York, 1979, 12-25.

　　[2] 程云鵬.矩陣論[M].西安：西北工業大學出版社，2005.412-415.

　　[3] 潘勁松.循環矩陣的推廣應用研究[J].廊坊師范學院學報：自然科學版, 2013，2：11-16.

　　[4] 吳世玕.循環矩陣的若干性質及應用[J].南方冶金學院學報，2002，1：66-68.

　　[5] 鄧義華.循環矩陣的逆問題[J].衡陽師范學院學報,2005,3: 31-33.

　　[6] 關于循環矩陣的幾個性質的推廣--趙立寬，岳曉鵬，杜學知.關于循環矩陣的幾個性質的推廣[J].曲阜師范大學學報，2006，4：52-56.

　　[7] 張愛萍.循環矩陣的性質及其對角化[J].廣西師院學報:自然科學版,2000,4：10-13.