材料力學與彈性力學的研究差異
材料力學與彈性力學的研究差異
摘要：材料力學與彈性力學作為力學的重要分支學科，盡管在研究內容和目的等方面相似，但其研究方法卻有明顯差異，本文將就兩者的差異進行綜述。
關鍵詞：材料力學;彈性力學;研究方法
概述
力學作為一門研究物質機械運動規律的科學，其在建筑、機械、航天、航海等關系國計民生、國家安全等重大項目上發揮著重要作用。
材料力學(Mechanics of materials)和彈性力學(Theory of elasticity)都是力學的重要分支學科，盡管他們都是研究和分析各種結構物在彈性階段的應力和位移，但在研究對象和方法上仍然具有很大的差異。材料力學主要研究物體受理后發生的變形、由于變形而產生的內力以及物體由此而產生的失效和控制失效準則[1]。
其主要的研究對象是桿狀構件，即長度遠大于高度和寬度的構件及其在拉壓、剪切、彎曲、扭轉作用下的應力和位移。
材料力學除了從靜力學、幾何學、物理學三方面進行分析之外，通過試驗現象的觀察和分析，忽略次要因素，保留主要因素，引用一些關于構件的形變狀態或應力分布的假定，大大簡化了數學推演。雖然解答只是近似的，但是可以滿足工程上的精度要求。
彈性力學作為固體力學的一個分支，研究可變性固體在外部因素如力、溫度變化、約束變動等作用下產生的應力、應變和位移[2]。其研究對象既可是非桿狀結構，如板和殼以及擋土墻、堤壩、地基等實體結構，亦可是桿狀構件，并且其不引用任何假定，解答較材料力學更為精確，常常用來校核材料力學里得出的近似解答。
材料力學與彈性力學同樣作為變形體力學的分支，在解決具體問題使，需要將實際工程構件的研究對象抽象為理想模型。作為理想模型，在建立其已知量和未知量的推導關系時，要滿足如下基本假設：連續性假設、均勻性假設、各向同性假設、小變形假設、完全彈性假設。下面本文將就在一下具體問題的解決中，探討材料力學和彈性力學在研究方法上的差異。
1.直梁在橫向荷載作用下的彎曲研究
1)在純彎曲梁中，對于平截面假定的驗證
材料力學在研究梁的彎曲應力時，采用純彎曲段分析。通過觀察對比梁變形前后表面橫向線和縱向線的幾何變形，推測梁內部橫截面在變形后仍為平面。在彈性力學中，證明了其橫截面是否為平面的過程如下：
假定平面應力情況，已通過多項式解答取φ=ay3，求得純彎曲矩形梁的應力分量，將應力分量代入物理方程、幾何方程，并積分變換得位移分量的表達式：u=MEIxy+f1(y)ν=-μM2EIy2+f2(x)
通過數學變換求得位移分量為：
u=MEIxy-ωy+u0
ν=-μM2EIy2-M2EIx2+ωy+ν0
其中ω、u0、ν0為剛體位移
由上式可得，鉛直線段的轉角為：
β=uy=MEIx-ω
在同一個截面上，x是常量，因而β也是常量。可見，同一橫截面上的各鉛直線段轉角相等，即橫截面保持平面。
2)對于截面彎曲應力的修正與分析
在材料力學中，根據平面假設和單向受力狀態導出了應力公式。但此公式僅限于純彎曲梁，當梁受橫向外力作用時，梁發生橫力彎曲，此時變形后已不再是平面，單向受力狀態也不成立。針對此問題，材料力學一般做簡化處理。對于跨長與橫截面高度之比大于5的梁，用純彎曲正應力公式σ=MIy進行計算，結果雖然有誤差，但足以滿足工程上的精度要求，近似用該公式得到的結果作為橫力彎曲的正應力計算公式。
而在彈性力學中，采用半逆解法嚴密的推導了各應力分量。以均布荷載下的簡支梁為例，假設應力分量形式σy=f(y)，由應力函數與應力分量的關系導出應力函數，并代入相容方程得到各應力分量的表達式。考慮主要邊界與小邊界后，得截面上的應力分量為：
σx=MIy+qyh(4y2h2-35)
σy=-q2(1+yh)(1-2yh)2
τxy=FSbI
由上式可見，在彎應力σx的表達式中，第一項是主要項，和材料力學中的解答相同，第二項是彈性力學提出的修正項。對于通常的淺梁(跨高比大于5)，修正項很小，可以忽略不計，對于較深的梁，則必須考慮修正項。
應力分量σy是梁各層纖維之間的擠壓應力，它的最大絕對值是q，發生在梁頂。在材料力學中，由于單向應力假設，認為縱向線之間互不擠壓，一般不考慮該應力分量。
切應力τxy的表達式和材料力學完全一樣。
從表達式中可以看到，當l>>h時，σx最大，τxy次之，σy最小，且σx中的qyh(4y2h2-35)是高階小量。因此進一步說明了，材料力學的公式可以近似滿足工程梁的計算精度，而彈性力學推導相對復雜因此材料力學具有較強的實用性。
2.切應力互等定理
在材料力學中，以圓桿的扭轉為背景，考慮了一個特殊的簡單應力狀態，并加以推理得到了切應力互等定理。在沿桿軸線方向取微段dx，垂直于徑向的平面截出一無限小的單元體，則很容易得出內外表面無應力，只在左右兩個面上有切應力τ。則該單元體將會轉動不能平衡，所以推定在上下兩個縱截面上必定存在著τ'。由于面積很小，近似認為切應力在各面上均勻分布。
由平衡方程ΣM=0得到
(τdydz)dx=(τ'dxdz)dy
從而得到：τ=τ'
而在彈性力學中，則從最普遍的情況出發，不作任何假設。取微小的平行六面體，根據平衡條件導出應力分量之間的關系。由對中心點的力矩平衡方程，得到：
(τxy+τxyxdx)dy×1×dx2+τyxdy×1×dx2-(τxy+τxyydy)dx×1×dy2+τyxdx×1×dy2=0
將上式兩邊同除dxdy，合并同類項，并命dx dy趨于零，得到τxy=τyx 從而驗證了切應力互等定理。
從切應力互等定理的導出我們可以發現，材料力學在推導過程中運用了一些推理和假設，而彈性力學的推導過程是比較嚴密和精確的。
總結
彈性力學與材料力學同樣作為力學的分支，基本假定和理論體系是相同的。在力學史上，首先出現了研究變形體力學的理論，屬于彈性力學的研究范疇，但由于當時相應的數學水平得不到相應問題的解析解，才在求解過程中引入一些關于變形和應力分布的假設，形成材料力學這門學科。
在研究對象方面，材料力學的研究對象是桿狀構件，而彈性力學的研究對象則有桿、梁、柱、板等結構。因此彈性力學有更廣的適用性，而材料力學具有一定的局限性。
在解決具體問題是，材料力學常采用截面法，即假想將物體剖開，取截面一邊的部分物體作為截離體，利用靜力平衡條件，列出單一變量的常微分方程，以求得截面上的應力，在數學上較易求解。彈性力學解決問題的方法與材料力學的方法是不相同的。
在彈性力學中，假想物體內部為無數個單元平行六面體和表面為無數個單元四面體所組成。考慮這些單元體的平衡，可寫出一組平衡微分方程，但未知應力數總是超出微分方程數，因此，彈性力學問題總是超靜定的，必須考慮變形條件。
由于物體在變形之后仍保持連續，所以單元體之間的變形必須是協調的。因此，可得出一組表示形變連續性的微分方程。
另外，在物體表面上還必須考慮物體內部應力與外荷載之間的平衡，這樣就有足夠的微分方程數以求解未知的應力、應變與位移，所以在解決彈性理論問題時，必須考慮靜力學、幾何方程、物理方程以及邊界等方面的條件。
因此需要研究人員具備較扎實的數學基礎。由于數學上的困難，彈性理論問題不是總能直接從求解偏微分方程組中得到答案的。
在計算精度方面，材料力學在計算過程中引入一些假設以簡化計算，得到的計算結果雖然精度偏低，但已經能夠滿足工程上的精度需要，并且受力模型簡單，能夠很快的得到應力分布，實用性較強。而彈性力學通過嚴密的推導，雖然計算過程繁瑣但精度高。
綜上，材料力學和彈性力學兩門力學分支學科關系密切，適用范圍互補，研究方法及精度各有長處，將他們綜合應用，才能在我們的學習和科研中取得更好的效果。
[參考文獻]
[1]劉德華， 黃超. 材料力學， 重慶大學出版社， 2011.
[2]李兆霞， 郭力. 工程彈性力學， 東南大學出版社， 2009.
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