中學生數學《方差》優秀教案

時間：2025-12-17 00:19:37 教案我要投稿

中學生數學《方差》優秀教案（通用9篇）

　　在教學工作者開展教學活動前，很有必要精心設計一份教案，教案有助于順利而有效地開展教學活動。那么優秀的教案是什么樣的呢？下面是小編幫大家整理的中學生數學《方差》優秀教案，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

中學生數學《方差》優秀教案（通用9篇）

　　中學生數學《方差》優秀教案篇1

　　一、教學目標：

　　1. 了解方差的定義和計算公式．

　　2. 理解方差概念的產生和形成的過程．

　　3. 會用方差計算公式來比較兩組數據的波動大小．

　　二、重點、難點和難點的突破方法：

　　1、重點：方差產生的必要性和應用方差公式解決實際問題．

　　2、難點：理解方差公式

　　三、教學過程：

　　（1）首先應使學生知道為什么要學習方差和方差公式，目的不明確學生很難對本節課內容產生興趣和求知欲望．教師在授課過程中可以多舉幾個生活中的小例子，不如選擇儀仗隊隊員、選擇運動員、選擇質量穩定的電器等．學生從中可以體會到生活中為了更好的做出選擇判斷經常要去了解一組數據的波動程度，僅僅知道平均數是不夠的．

　　（2）波動性可以通過什么方式表現出來？第一環節中點明了為什么去了解數據的波動性，第二環節則主要使學生知道描述數據波動性的方法．可以畫折線圖方法來反映這種波動大小，可是當波動大小區別不大時，僅用畫折線圖方法去描述恐怕不會準確，這自然希望可以出現一種數量來描述數據波動大小，這就引出方差產生的必要性．

　　（3）第三環節教師可以直接對方差公式作分析和解釋，波動大小指的是與平均數之間差異，那么用每個數據與平均值的差完全平方后便可以反映出每個數據的波動大小，整體的.波動大小可以通過對每個數據的波動大小求平均值得到．所以方差公式是能夠反映一組數據的波動大小的一個統計量，教師也可以根據學生程度和課堂時間決定是否介紹平均差等可以反映數據波動大小的其他統計量．

　　四、例題的分析：

　　教材P154例1在分析過程中應抓住以下幾點：

　　1、題目中“整齊”的含義是什么？說明在這個問題中要研究一組數據的什么？學生通過思考可以回答出整齊即波動小，所以要研究兩組數據波動大小，這一環節是明確題意．

　　2、在求方差之前先要求哪個統計量，為什么？學生也可以得出先求平均數，因為公式中需要平均值，這個問題可以使學生明確利用方差計算步驟．

　　3、方差怎樣去體現波動大小？

　　這一問題的提出主要復習鞏固方差，反映數據波動大小的規律．

　　中學生數學《方差》優秀教案篇2

　　教學內容:

　　P108—110 平方差公式例1 例2 例3

　　教學目的:

　　1、使學生會推導平方差公式,并掌握公式特征。

　　2、使學生能正確而熟練地運用平方差公式進行計算。

　　教學重點:

　　使學生會推導平方差公式，掌握公式特征，并能正確而熟練地運用平方差公式進行計算。

　　教學難點:

　　掌握平方差公式的特征，并能正確而熟練地運用它進行計算。

　　教學過程：

　　一、復習引入

　　1、復述多項式與多項式的乘法法則

　　2、計算（演板）

　　(1)(a+b)(a-b) (2)(m+n)(m-n)

　　(3)(x+y)(x-y) (4)(2a+3b)(2a-3b)

　　3、引入新課,由2題的計算引導學生觀察題目特征,結果特征(引入新課,板書課題)

　　二、新課

　　1、平方差公式

　　由上面的運算，再讓學生探究現在你能很快算出多項式（2m+3n）與多項式(2m-3n)的乘積嗎? 引導學生把2m看成a,3n看成b寫出結果.

　　(2m+3n)(2m-3n)=(2m)2-(3m)2=4m2-9n2

　　(a + b)(a - b)= a2 - b2

　　向學生說明:我們把(a+b)(a-b)=a2- b2 (重點強調公式特征)叫做平方差公式,也就是:兩個數的和與這兩個數的差等于這兩個數的'平方差.

　　2、練習：判斷下列式子哪些能用平方差公計算。（小黑板）

　　（1）（-x-2y)(-x+2y) (2)(-2a+3b)(2a-3b)

　　(3)(a+3b)(3a-b) (4)(-m-3n)(m-3n)

　　3、教學例1

　　(1)（2x+1)(2x-1); (2) (x+2y)(x-2y)

　　(2)分析：讓學生先說一說這兩個式子是否符合平方差公式特征，再說一說哪個相當于公式中的a，哪個相當于公式中的b，然后套公式。

　　(3)具體解題過程：板書，同教材,略

　　4、教學例2 例3

　　先引導學生分析后指名學生演板，略

　　三、鞏固練習：（小黑板）

　　1、填空：(1)(x+3)(x-3)=xxxxxxxxxx (2)(-1-2x)(2x-1)=xxxxxx

　　(3)(-1-2x)(-2x+1)=xxxxxxxxxxxxx (4)(m+n)( )=n2-m2

　　(5)( )(-x-1)=1-x2 (6)( )(a-1)=1-a2

　　2、選擇題

　　(1) 下列可以用平方差公式計算的是（）

　　A、(2a-3b)(-2a+3b) B、(- 4b-3a)(-3a+4b)

　　C、(a-b)(b-a) D、(2x-y) (2y+x)

　　(2)下列式子中，計算結果是4x2-9y2的是（）

　　A、(2x-3y)2 B、(2x+3y)(2x-3y)

　　C、(-2x+3y)2 D、(3y+2x)(3y-2x)

　　(3)計算（b+2a)(2a-b)的結果是（）

　　A、4a2- b2 B、b2- 4a2&

　　中學生數學《方差》優秀教案篇3

　　教學目的

　　進一步使學生理解掌握平方差公式，并通過小結使學生理解公式數學表達式與文字表達式在應用上的差異．

　　教學重點和難點：公式的應用及推廣．

　　教學過程：

　　一、復習提問

　　1．

　　（1）用較簡單的代數式表示下圖紙片的面積．

　　（2）沿直線裁一刀，將不規則的右圖重新拼接成一個矩形，并用代數式表示出你新拼圖形的面積．

　　講評要點：

　　沿hd、gd裁開均可，但一定要讓學生在裁開之前知道

　　hd＝bc＝gd＝fe＝a－b，

　　這樣裁開后才能重新拼成一個矩形．希望推出公式：

　　a2－b2＝(a＋b)(a－b)

　　2．

　　（1）敘述平方差公式的數學表達式及文字表達式；

　　（2）試比較公式的兩種表達式在應用上的差異．

　　說明：平方差公式的數學表達式在使用上有三個優點．

　　（1）公式具體，易于理解；

　　（2）公式的特征也表現得突出，易于初學的.人“套用”；

　　（3）形式簡潔．但數學表達式中的a與b有概括性及抽象性，這樣也就造成對具體問題存在一個判定a、b的問題，否則容易對公式產生各種主觀上的誤解．

　　依照公式的文字表達式可寫出下面兩個正確的式子：

　　經對比，可以讓人們體會到公式的文字表達式抽象、準確、概括．因而也就“欠”明確（如結果不知是誰與誰的平方差）．故在使用平方差公式時，要全面理解公式的實質，靈活運用公式的兩種表達式，比如用文字公式判斷一個題目能否使用平方差公式，用數學公式確定公式中的a與b，這樣才能使自己的計算即準確又靈活．

　　3．判斷正誤：

　　（1）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2－3b2；(×)

　　（2）(4x＋3b)(4x－3b)＝16x2－9；(×)

　　（3）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2＋9b2；(×)

　　（4）(4x＋3b)(4x－3b)＝4x2－9b2；(×)

　　二、新課

　　例1 運用平方差公式計算：

　　（1）102×98；

　　（2）(y＋2)(y－2)(y2＋4)．

　　解：

　　（1）102×98

　　（2）(y＋2)(y－2)(y2＋4)

　　＝(100＋2)(100－2) ＝(y2－4)(y2＋4)

　　＝1002－22＝10000－4 ＝(y2)2－42＝y4－16．

　　＝9996；

　　2．運用平方差公式計算：

　　（1）103×97；

　　（2）(x＋3)(x－3)(x2＋9)；

　　（3）59.8×60.2；

　　（4）(x－ )(x2＋ )(x＋ )．

　　中學生數學《方差》優秀教案篇4

　　教學目標

　　1、使學生理解和掌握平方差公式，并會用公式進行計算；

　　2、注意培養學生分析、綜合和抽象、概括以及運算能力。

　　教學重點和難點

　　重點：平方差公式的應用。

　　難點：用公式的結構特征判斷題目能否使用公式。

　　教學過程設計

　　一、師生共同研究平方差公式

　　我們已經學過了多項式的乘法，兩個二項式相乘，在合并同類項前應該有幾項？合并同類項以后，積可能會是三項嗎？積可能是二項嗎？請舉出例子。

　　讓學生動腦、動筆進行探討，并發表自己的見解。教師根據學生的回答，引導學生進一步思考：

　　兩個二項式相乘，乘式具備什么特征時，積才會是二項式？為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是兩項呢？而它們的積又有什么特征？

　　（當乘式是兩個數之和以及這兩個數之差相乘時，積是二項式。這是因為具備這樣特點的.兩個二項式相乘，積的四項中，會出現互為相反數的兩項，合并這兩項的結果為零，于是就剩下兩項了。而它們的積等于乘式中這兩個數的平方差）

　　繼而指出，在多項式的乘法中，對于某些特殊形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類似形式的多項式相乘時就可以直接運用公式進行計算。以后經常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式。

　　在此基礎上，讓學生用語言敘述公式。

　　二、運用舉例變式練習

　　例1計算(1+2x)(1-2x)。

　　解：(1+2x)(1-2x)

　　=12-(2x)2

　　=1-4x2.

　　教師引導學生分析題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學生說出本題中a，b分別表示什么。

　　例2計算(b2+2a3)(2a3-b2)。

　　解：(b2+2a3)(2a3-b2)

　　=(2a3+b2)(2a3-b2)

　　=(2a3)2-(b2)2

　　=4a6-b4.

　　教師引導學生發現，只需將(b2+2a3)中的兩項交換位置，就可用平方差公式進行計算。

　　課堂練習

　　運用平方差公式計算：

　　(1)(x+a)(x-a)；

　　(2)(m+n)(m-n)；

　　(3)(a+3b)(a-3b)；

　　(4)(1-5y)(1+5y)。

　　例3計算(-4a-1)(-4a+1)。

　　讓學生在練習本上計算，教師巡視學生解題情況，讓采用不同解法的兩個學生進行板演。

　　解法1：(-4a-1)(-4a+1)

　　=[-(4a+1)][-(4a-1)]

　　=(4a+1)(4a-1)

　　=(4a)2-12

　　=16a2-1.

　　解法2：(-4a-1)(-4a+1)

　　=(-4a)2-1

　　=16a2-1.

　　根據學生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負號的辦法，使兩乘式首項都變成正的，而后看出兩數的和與這兩數的差相乘的形式，應用平方差公式，寫出結果。解法2把-4a看成一個數，把1看成另一個數，直接寫出(-4a)2-12后得出結果。采用解法2的同學比較注意平方差公式的特征，能看到問題的本質，運算簡捷。因此，我們在計算中，先要分析題目的數字特征，然后正確應用平方差公式，就能比較簡捷地得到答案。

　　課堂練習

　　1、口答下列各題：

　　(1)(-a+b)(a+b)；(2)(a-b)(b+a)；

　　（3）(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)。

　　2、計算下列各題：

　　（1）(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；

　　教師巡視學生練習情況，請不同解法的學生，或發生錯誤的學生板演，教師和學生一起分析解法。

　　三、小結

　　1、什么是平方差公式？

　　2、運用公式要注意什么？

　　（1）要符合公式特征才能運用平方差公式；

　　（2）有些式子表面不能應用公式，但實質能應用公式，要注意變形。

　　四、作業

　　運用平方差公式計算：

　　(1)(x+2y)(x-2y)；

　　(2)(2a-3b)(3b+2a)；

　　（3）(-1+3x)(-1-3x)；

　　(4)(-2b-5)(2b-5)；

　　（5）(2x3+15)(2x3-15)；

　　(6)(0.3x-0.1)(0.3x+1)；

　　中學生數學《方差》優秀教案篇5

　　教學目標

　　①經歷探索平方差公式的過程，進一步發展學生的符號感和推理能力、歸納能力．

　　②會推導平方差公式并掌握公式的結構特征，能運用公式進行簡單的計算．

　　③了解平方差公式的幾何背景，體會數形結合的思想方法．

　　教學重點與難點

　　重點：平方差公式的推導及應用．

　　難點：用公式的結構特征判斷題目能否使用公式．

　　教學準備

　　卡片及多媒體課件

　　教學設計

　　引入

　　同學們，前面我們剛剛學習了整式的乘法，知道了一般情形下兩個多項式相乘的法則．今天我們要繼續學習某些特殊情形下的多項式相乘．下面請同學們應用你所學的知識，自己來探究下面的問題：

　　探究：計算下列多項式的積，你能發現它們的運算形式與結果有什么規律嗎?

　　(1)(x+1)(x-1)=

　　(2)(m+2)(m-2)=

　　(3)(2x+1)(2x-1)=

　　引導學生用自己的語言敘述所發現的規律，允許學生之間互相補充，教師不急于概括．

　　注：平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，它的得出可以直接利用多項式與多項式相乘的運算法則，利用多項式乘法推導乘法公式是從一般到特殊的過程，對今后學習其他乘法公式的推導有一定的指導意義，同時也可培養學生觀察、歸納、概括等能力，因此在教學中，首先應讓學生思考：你能發現什么?讓學生經歷觀察(每個算式和結果的特點)、比較(不同算式之間的異同)、歸納(可能具有的規律)、提出猜想的過程，學生在發現規律后，還應通過符號運算對規律進行證明．

　　舉例

　　再舉幾個這樣的運算例子．

　　注：讓學生獨立思考，每人在組內舉一個例子(可口述或書寫)，然后由其中一個小組的代表來匯報．

　　驗證

　　我們再來計算(a+b)(a-b)=

　　公式的推導既是對上述特例的概括，更是從特殊到一般的歸納證明，在此應注意向學生滲透數學的思想方法：特例→歸納→猜想→驗證→用數學符號表示．

　　注：這里是對前邊進行的運算的討論，目的是讓學生通過觀察、歸納，鼓勵他們發現這個公式的一些特點，如公式左右邊的結構特征，為下一步運用公式進行簡單計算打下基礎．

　　概括

　　平方差公式及其形式特征．

　　教師可以在前面的基礎上繼續鼓勵學生發現這個公式的一些特點：如公式左、右邊的結構，并嘗試說明這些特點的原因．

　　應用

　　教科書第152頁例1運用平方差公式計算：

　　(1)(3x+2)(3x-2)

　　(2)(b+2a)(2a-b)

　　(3)(-x+2y)(-x-2y)

　　填表：

　　(a+b)(a-b) a b a2—b2 最后結果

　　(3x+2)(3x-2) 2 (3x)2-22

　　(b+2a)(2a-b)

　　(-x+2y)(-x-2y)

　　對本例的前面兩個小題可以采用學生獨立完成，然后搶答的形式完成；第三小題可采用小組討論的形式，要求學生在給出表格所提示的解法之后，思考別的解法：提取后一個因式里的負號，將2y看作“a”，將x看作“b”，然后運用平方差公式計算．

　　注：

　　(1)正確理解公式中字母的廣泛含義，是正確運用這一公式的關鍵．設計本環節，旨在通過將算式中的各項與公式里的a、b進行對照，進一步體會字母a、b的含義，加深對字母含義廣泛性的理解：即它們既可以是數，也可以是含字母的.整式．

　　(2)在具體計算時，當有一個二項式兩項都負時，往往不易判明a、b，如第三小題，此時可以通過小組合作交流，放手讓學生去思考、討論，有助于學生思維互補、有條理地思考和表達，更有助于學生合作精神的培養．

　　(3)例1第(3)小題引導學生多角度思考問題，可以加深對公式的理解．

　　教科書第152頁例2計算：

　　(1)102×98

　　(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

　　此處仍先讓學生獨立思考，然后自主發言，口述解題思路，允許他們算法的多樣化，然后通過比較，優化算法，達到簡便計算的目的．

　　注：

　　(1)運用平方差公式進行數的簡便運算的關鍵是根據數的形式特征，把相乘的兩數化成兩數和與兩數差的乘積形式，教學時可讓學生自己尋找相乘兩數的形式特征．

　　(2)第二小題要引導學生注意到一般形式的整式乘法與特殊形式的整式乘法的區別與聯系，強調：只有符合公式要求的乘法，才能運用公式簡化運算，其余的運算仍按整式乘法法則進行．

　　鞏固

　　教科書第153頁練習1、2

　　練習1口答完成；練習2采用大組競賽的形式進行，其中(1)(4)由兩個大組完成，(2)(3)由另兩個大組完成．

　　注：讓學生通過鞏固練習，達成本節課的基本學習目標，并通過豐富的活動形式，激發學習興趣，培養競爭意識和集體榮譽感．

　　解釋

　　你能根據下面的兩個圖形解釋平方差公式嗎?

　　多媒體動畫演示圖形的變換過程，體會過程中不變的量，并能用代數恒等式表示．

　　注：

　　(1)重視公式的幾何背景，可以幫助學生運用幾何直觀理解、解決有關代數問題．

　　(2)此處將教科書的圖15.3-1分解為兩個圖形，是考慮到學生數與形結合的思想方法掌握的不夠熟練；利用兩個圖形可以清楚變化的過程，便于聯想代數的形式．

　　小結

　　談一談：你這一節課有什么收獲?

　　注：這兒采取的是先由每個學生自己小結，然后由小組代表作答，把教師做小結變成了課堂上人人做小結，有助于學生概括能力、抽象能力、表達能力的提高．同時，由于人人都要做小結，促使學生注意力集中，學習主動性加強．

　　作業

　　1．必做題：教科書第156頁習題15.2第1題

　　2．選做題：計算：

　　(1)x2+(y-x)(y+x)

　　(2)20082-2009×2007

　　(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)

　　(4)(a+ b)(a- b)-(3a-2b)(3a+2b)

　　教學后記

　　中學生數學《方差》優秀教案篇6

　　學習目標：

　　1、經歷探索完全平方公式的過程，發展學生觀察、交流、歸納、猜測、驗證等能力。

　　2、會推導完全平方公式，了解公式的幾何背景，會用公式計算。

　　3、數形結合的數學思想和方法。

　　學習重點：會推導完全平方公式，并能運用公式進行簡單的計算。

　　學習難點：掌握完全平方公式的結構特征，理解公式中a.b的廣泛含義。

　　學習過程：

　　一、學習準備

　　1、利用多項式乘以多項式計算：(a+b)2 (a-b)2

　　2、這兩個特殊形式的多項式乘法結果稱為完全平方公式。

　　嘗試用自己的.語言敘述完全平方公式：

　　3、完全平方公式的幾何意義：閱讀課本64頁，完成填空。

　　4、完全平方公式的結構特征：

　　(a+b)2=a2+2ab+b2

　　(a-b)2=a2-2ab+b2

　　左邊是形式，右邊有三項，其中兩項是形式，另一項是

　　注意：公式中字母的含義廣泛，可以是，只要題目符合公式的結構特征，就可以運用這一公式，可用符號表示為：(□±△)=□2±2□△+△2

　　5、兩個完全平方公式的轉化：

　　(a-b)2= 2=( )2+2( )+( )2=

　　二、合作探究

　　1、利用乘法公式計算：

　　(1) (3a+2b)2 (2) (-4x2-1)2

　　分析：要分清題目中哪個式子相當于公式中的a ，哪個式子相當于公式中的b

　　2、利用乘法公式計算：

　　(1) 992 (2) ( )2

　　分析：要利用完全平方公式，需具備完全平方公式的結構，所以992可以轉化( )2，( )2可以轉化為( )2

　　3、利用完全平方公式計算：

　　(1) (a+b+c)2 (2) (a-b)3

　　三、學習

　　對照學習目標，通過預習，你覺得自己有哪些方面的收獲？又存在哪些方面的疑惑？

　　四、自我測試

　　1、下列計算是否正確，若不正確，請訂正；

　　(1) (-1+3a)2=9a2-6a+1

　　(2) (3x2- )2=9x4-

　　(3) (xy+4)2=x2y2+16

　　(4) (a2b-2)2=a2b2-2a2b+4

　　2、利用乘法公式計算：

　　(1) (3x+1)2 (2) (a-3b)2

　　(3) (-2x+ )2 (4) (-3m-4n)2

　　3、利用乘法公式計算：

　　(1) 9992 (2) (100.5)2

　　4、先化簡，再求值；

　　( m-3n)2-( m+3n)2+2,其中m=2,n=3

　　五、思維拓展

　　1、如果x2-kx+81是一個完全平方公式，則k的值是

　　2、多項式4x2+1加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方，那么加上的單項式可以是

　　3、已知(x+y)2=9, (x-y)2=5 ，求xy的值

　　4、x+y=4 ,x-y=10 ,那么xy=

　　5、已知x- =4，則x2+ =

　　中學生數學《方差》優秀教案篇7

　　學習目標：

　　1、能說出有序數對的定義。

　　2、能用有序數對表示實際生活中物體的位置。

　　學習重點：用有序數對表示位置。

　　學習難點：用有序數對表示位置。

　　學習過程：

　　自學過程：（一）、自學知識清單

　　1、教材64頁，在圖7.1—1中找出參加數學問題討論的'同學。

　　小組內交流一下，看一看你們找的位置相同嗎？

　　思考：（2,4）和（4,2）在同一位置嗎？為什么？

　　2、請回答教材65頁：思考題。

　　3、我們把這種有順序的xxxxxx個數a與b組成的xxxxxxx叫做xxxxxxx，記作( ， )。

　　（二）、自學反饋

　　練習1、利用xxxxxxxxxxxxxxxx，可以準確地表示出一個位置，

　　如電影院的座號，“3排2號”、表示為（3,2），則“2排3號”可以表示為。

　　練習2、一方隊正沿箭頭所指的方向前進,A的位置為三列四行,表示為A(3,4),則B,C,D表示為B( ， ),C（，）D( , )

　　練習3、完成課本第65頁的練習。

　　練習4、用有序數對表示物體位置時,(3,2)與(2,3)表示的位置相同嗎?請結合下面圖形加以說明.

　　練習5、如圖所示,A的位置為(2,6),小明從A出發,經

　　(2,5)→(3,5)→(4,5)→(4,4)→(5,4)→(6,4),小剛也從A出發,經

　　(3,6)→(4,6)→(4,7)→(5,7)→(6,7),則此時兩人相距幾個格?

　　中學生數學《方差》優秀教案篇8

　　素質教育目標

　　（一）知識教學點

　　使學生了解方差、標準差的意義，會計算一組數據的方差與標準差.

　　（二）能力訓練點

　　1．培養學生的計算能力.

　　2．培養學生觀察問題、分析問題的能力，培養學生的發散思維能力.

　　（三）德育滲透點

　　1．培養學生認真、耐心、細致的學習態度和學習習慣.

　　2．滲透數學來源于實踐，又反過來作用于實踐的觀點.

　　（四）美育滲透點

　　通過本節課的教學，滲透了數學知識的抽象美及反映在圖像上的形象美，激發學生對美好事物的追求，岣哐?STRONG>數學美的鑒賞力.

　　重點·難點·疑點及解決辦法

　　1．教學重點：方差概念.

　　2．教學難點：方差概念.

　　3．教學疑點：學生不易理解為什么要用方差去描述一組數據的波動大小，為什么不可以用各數據與其平均數的差的來和來衡量這組數據的波動大小呢？為什么對各數據與其平均數的差不取其絕對值，而將其平方呢？對這些問題教師在剖析方差定義時要講清楚.

　　4．解決辦法：教師要講清方差，標準差的意義，即它們都是用來描述一組數據波動情況的特征數，常用來比較兩組數據的波動大小，我們所研究的僅是這兩組數據的個數相等，平均數相等或比較接近時的情況.

　　教學步驟

　　（一）明確目標

　　前面我們學習了平均數、眾數及中位數，它們都是描述一組數據的集中趨勢的量，這節課我們將進一步學習衡量樣本（或一組數據）和總體的另一類特征數——方差、標準差及其計算.

　　這種開門見山式引入課題，能迅速將學生的注意力集中起來，進入新課講解.

　　（二）整體感知

　　對于一組數據來說，我們除了關心它的集中趨勢以外，還關心它的波動大小.衡量這個波動大小的最常用的特征數，就是方差和標準差.

　　（三）教學過程（）

　　1．請同學們看下面的問題：（用幻燈出示）

　　教師引導學生觀察表格中的數據和圖，提出問題：怎樣能說明在使所生產的10個零件的直徑符合規定方面，哪個機床做得好呢？

　　對于這個問題，學生會馬上想到計算它們的平均數．教師可把學生分成兩級分別計算這兩組數據的平均數．（請兩名同學到黑板計算）

　　計算的結果說明兩組數據的平均數都等于規定尺寸40毫米．這時教師引導學生思考，這能說明兩個機床做的一樣好嗎？不能！我們再觀察上圖（給學生充分的時間觀察，找出左右兩圖的區別）從圖中看到，機床甲生產的零件的直徑與規定尺寸偏差較大，偏離40毫米線較多；機床乙生產的零件的直徑與規定尺寸偏差較小，比較集中在40毫米線的附近．這說明，在使所生產的10個零件的直徑符合規定方面，機床乙比機床甲要好．

　　教師說明：從上面看到，對于一組數據，除需要了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動大小（即偏離平均數的大小）．

　　通過引例的學習，使學生理解為什么要研究數據波動的大小，為提出方差概念做好了準備．

　　2．方差概念

　　教師講解，為了描述一組數據的波動大小，可以采用不止一種辦法，例如，可以先求得各個數據與這組數據的平均數的差的絕對值，再取其平均數，用這個平均數來衡量這組數據的波動大小，通常，采用的是下面的.做法：

　　設在一組數據中，各數據與它們的平均數的差的平方分別是，那么我們用它們的平均數，即用來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差．一組數據方差越大，說明這組數據波動越大．教師要剖析公式中每一個元素的意義，以便學生理解和掌握．

　　在學生理解方差概念時，可能會提出疑問：為什么要這樣定義方差？（教師說明，在表示各數據與其平均數的倔離程度時，為了防止正偏差與負偏差的相互抵消）為什么對各數據與其平均數的差不取其絕對值，而要將它們平方？（教師說明，這主要是因為在很多問題里，含有絕對值的式子不便于運算，且在衡量一組數據波動大小的“功能”上，方差更強些）為什么要除以數據個數n？（是為了消除數據個數的影響）．

　　在學生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通過計算機床甲、乙兩組數據的方差，再根據理論說明哪個機床做得更好．

　　教師范解

　　從知道，機床甲生產的10個零件直徑比機床乙生產的10個零件直徑波動要大.

　　這樣做使學生深刻體會到數學來源于實踐，又反過來作用實踐，不僅使學生對學習數學產生濃厚的興趣，而且培養了學生應用數學的意識.

　　3．例1 （用幻燈出示）已知兩組數據：

　　甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7

　　乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1

　　分別計算這兩組數據的方差.

　　讓學生自己動手計算，求平均數時激發學生用簡化公式計算，找一名好學生到黑板計算.

　　解：根據公式②（取），有

　　從知道，乙組數據比甲組數據波動大.

　　4．標準差概念

　　在有些情況下，需要用到方差的算術平方根。

　　并把它叫做這組數據的標準差.它也是一個用來衡量一組數據的波動大小的重要的量。

　　教師引導學生分析方差與標準差的區別與聯系：

　　計算標準差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數據一致，有時用它比較方便。

　　課堂練習教材P165中（1）、（2）

　　（四）總結、擴展

　　知識小結：通過這節課的學習，使我們知道了對于一組數據，有時只知道它的平均數還不夠，還需要知道它的波動大小；而描述一組數據的波動大小的量不止一種，最常用的是方差和標準差.方差與標準差這兩個概念既有聯系又有區別.

　　方法小結：求一組數據方差的方法；先求平均數，再利用③求方差，求一組數據標準差的方法：先求這組數據的方差，然后再求方差的算術平方根.

　　布置作業

　　教材P173中1，2（1）（2）

　　板書設計

　　14．3 方差（一）

　　方差公式③ 引例例1

　　標準差公式④

　　中學生數學《方差》優秀教案篇9

　　一、教學目的

　　1．使學生了解方差、標準差的意義，會計算一組數據的方差與標準差．

　　2．使學生了解樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義．

　　二、教學重點、難點

　　重點：方差、標準差、樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義．

　　難點：樣本方差、樣本標準差的計算．

　　三、教學過程

　　復習提問

　　計算一組數據的平均數有哪些方法？

　　引入新課

　　在很多實際問題中，只知道一組數據的平均數是不夠的，還需要知道這組數據的波動大小．如何了解數據的波動大小？這正是我們要解決的問題．

　　新課

　　引例兩臺機床同時生產直徑是40毫米的零件．為了檢驗產品質量，從產品中抽出10件進行測量，結果如下(單位：毫米)：

　　表中數據表成如下形式：

　　可在此處讓學生用公式②分別計算這兩組數據的平均數(還可提問學生a取什么值最好，這樣學生能在教師的啟發下得到a=40最合適)．當學生算出如下平均數：

　　讓學生思考，兩組數據的平均數都等于規定尺寸40毫米時，甲、乙兩機床性能是否都一樣好？提出問題讓學生議議后，再引導學生看圖1，讓學生認識到“機床甲生產的零件的直徑與規定尺寸編差較大，偏離40毫米線較多；機床乙生產的零件的直徑與規定尺寸的偏差較小，比較集中在40毫米線的附近．”這說明，在使所生產的10個零件的直徑符合規定方面，機床乙比機床甲要好．

　　這反映出，對一組數據，除需要了解它們的平均水平以外，還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數的大小)．

　　在此處要告訴學生：描述一組數據的波動大小，可以采用不止一種辦法．本課介紹“方差”即是一種方法．即：

　　來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差．

　　要強調“一組數據方差越大，說明這組數據波動越大”．條件許可時，還可介紹③式可表示為：

　　接下來可以請兩個學生計算引例中機床甲、乙兩組數據的方差．

　　從0.026＞0.008可以比較出，機床甲生產的10個零件直徑比機床乙生產的10個零件直徑波動要大．(接下來教師再給出如下例題．)

　　例1 已知兩組數據：

　　分別計算這兩組數據的方差．

　　講此例后，要強調求解步驟為：

　　(1)求平均數；

　　(2)求方差；

　　(3)比較方差得出結論．