高一數學教學經典設計
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高一數學教學設計
課題：函數的值域與最大(小)值
一、基礎知識：(1)函數的定義域、值域、單調性及互為反函數的關系。
(2)由于圖象法是認識函數性質的重要方法，也是記憶和掌
握函數性質的有效工具。掌握下表內容，有助于提高研究函數的
能力，特別是有助于數形結合思想與方法融會貫通。
二、目的要求：
(1)使學生熟練掌握二次函數的值域及最大值或最小值的求法。
(2)使學生掌握利用配方法、反函數法、判別式法、化歸法、
換元法、單調性法及數形結合法求簡單函數的值域。
(3)要求學生學會利用求函數值域的方法配合定義域及題中具
體的已知條件求簡單函數的最大值或最小值。
(4) 使學生理解函數的極值與最值是不同的概念。
(5)使學生了解數形結合法(多變量)求函數的最值。
(6)通過運用函數的性質，培養學生的運算能力和邏輯思維能
力;通過最值解決實際問題，使學生認識函數的最值廣泛應用于客
觀實際，例如要使材料最省，工效最高，成本最低等等，增強學生
對“效率”與“節儉”的意識;培養學生解決有關實際問題的能力
及實踐第一等觀點。
三、 重點難點：
1. 教學重點
(1)在求函數的值域與最值時，大量的實際問題中的變量關系
多是采用二次函數表示之，使問題得以解決;如是復雜函數多是經
過換元成二次函數，轉復雜為簡單來解決問題的。因此使學生熟練、
牢固掌握二次函數的定義、性質是本節的重點。
(2)《教學論》中指出了教科書中現有理論知識，要有應用的
技能、技巧教材的內容、要有反映生活、建設上的實際材料。這一
準則對數學教學尤其重要。對于學習的學生，在教學中必須結合實
際的、具體的教材，才能通過理解抽象的理論;才能通過學習獲得
應用技能、技巧并能熟悉抽象的理論的用途和用法;特別是才能達
到思想性準則的要求。
函數是中學數學中最重要的基本概念之一。而函數最值問題，
它在工農業生產中有廣泛的應用。例如，在制定生產計劃的時侯，
要考慮怎樣合理安排勞動力，才能使勞動生產率最高;在調運物資
的時候，要考慮怎樣制定一個合理的方案，才能使運輸的費用最省;
成品的設計要考慮到怎樣才能使所用的材料最省等。也就是說函數
最值問題是中學數學中最體現理論與實踐相結合的教材之一。所以，
利用二次函數性質、反函數法、判別式法、單調性法求函數的值域
及最值是重點。
2.教學難點
(1)能充分地利用已知條件及題設中的隱條件(定義域及其
變化等)來解題，為本節的難點。
(2)函數最值求法甚多，各種方法都必須具備熟練的函數性質
及其它有關的基礎知識，有時還須應用特殊方法才能使問題得以解
決。因而很容易造成學生在解題中解法不當或束手無策。所以求函
數最值為主要難點。
三.解難指導：
為了解決難點，提高教學效果。教學過程中力爭做到以下幾點：
(1)著重注意從實際出發，從感性認識提高到理性認識。
(2)注重運用對比的方法，反復比較幾個解法相近或有從屬關
系的方法的異同。
(3)堅持結合直觀圖形或函數圖象來說明、解題的思路及結果。
(4)特別注意從已有知識出發，講清推理層次，啟發學生探索
解題的途徑，培養學生分析、解決問題的能力。
四.教學用具：三角板與圓規。
五.教學過程：
開始
教師提問
六.教案：
(一)復習舊知識
1.提問：(1)二次函數圖象有哪些性質?
(2)求函數值域有哪些方法?
2.回顧：
例1 求函數y=x–√1–2x的值域。
(換元法)令√1–2x =t (t≥0)，
222則 [√1–2x ] =t， ∴ x=(1-t)/2，
22∴ y=f(t)=(1-t)/2-t=-1/2(t+1)+1。
∵ t≥0， 如左圖所示
函數y=f(t)在[0，+∞)上單調遞減，
∴ 在[0，+∞)上，t=0時，函數y有最大值，
2又 f(0)=-1/2×(0+1)+1=1/2
∴ 函數值域為 y≤1/2 。
3.小結：
(二)引入新課：
1.在解題中遇到求復合函數(或復雜函數)的值域時，我們
可用換元法使之化為簡單、熟悉的函數后再求之。一般地說，多
是化為二次函數。
復合函數的`值域：
可先由函數y=f[η(x)]的定義域H求出內函數t=η(x)的值
域C，再由t∈C和外函數y=f(t)的解析式可求出函數y=f(t)的
值域D，即為求復合函數的值域。
2 例2 求函數y=lg(x+4)值域。
2 [分析] 本題可看出函數y=lg(x+4)是由函數y=lgt和函數
22 t= x+4復合而成的。首先，由函數y=lg(x+4)定義域和函數
2 t= x+4的值域求出它們的交集確定為t的取值范圍;再由t的
取值范圍和函數y=lgt的單調性即可。
[注意] 考慮函數y=lgt
2 解：要使式子lg(x+4)有意義，2 必須 x+4>0
∵ 當x為任意實數時
22 x≥0; x+4>2 ∴ 函數y=lg(x+4)的
定義域為 x∈R，
2 ∵ 二次函數t= x+4的圖象 為(0，4) (如右圖)
2 ∴ 函數t= x+4的值域為 t≥4，
2 ∵ 函數y=lg(x+4)的定義域為 x∈R，
∴ t的取值范圍為 t≥4，
又 在[4，+∞)上函數y=lgt是單調遞增，
∴ y≥lg4 (應說明理由)
2 即 函數y=lg(x+4)的值域是 {y∣y≥lg4}。
注： 應使學生理解利用換元法變換的原理，并熟悉基本函數(二次
函數為主)的圖象，才能借助它們去研究某些復雜函數的有關問題;
才能得心應手地解決復雜函數的有關問題。
在上題解題過程中出現過這樣的一個命題(因果關系)：
又 在[4，+∞)上函數y=lgt
∴ y≥lg4
此命題成立的理由(已講)中內含著一個新內容，它就是函數的最大
值和最小值
2.函數的的最大值和最小值，簡稱為最值。
(1)函數的極值與最值是不同的概念。函數的極值是局部概念。
對于函數定義域而言，極大值或極小值都可能不止一個。而最大值或
最小值是整體概念，在整個定義域內，最大值或最小值都至多有一個。
有的函數存在極值卻不存在最值。
(2)函數的最值廣泛應用于客觀實際，例如要使材料最省，工效最
高，成本最低等等。所以它是中學數學中，最理論結合實際教材之一。
故要求學生學會利用求函數值域的方法配合定義域及題中具體的已知
條件求簡單函數的最大值或最小值。以培養學生解決有關實際問題的
能力及實踐第一等觀點。
例3 AB是半徑為R的半圓的直徑，ABCD是半圓的內接梯形。試
問其中周長最大的梯形是怎樣的?
[分析] 本題首要問題是利用已知條件，先建立周長S與某一變
量x(定義域的確定)之間的關系式;再由其函數的性質以求解決問題。
由于圓內接梯形必是等腰梯形，因為AB是直徑，只要連DB就可
得Rt△ABD;再作高線DE，即可由射影定理(或相似三角形)求得腰
AD與AE的關系，便可假設兩變量之一為x，最后利用等腰梯形的性質
不難得到用x和半徑R來表示周長S的函數式。
解： 連BD，作DE⊥АБ交АБ于E
∵ АБ是直徑， ∴ ∠АDB=Rt∠
在Rt△ABD中， ∵ DE⊥АБ
22 由射影定理可得： AD=AE·AB， 即AE=AD∕AB，
∵ ABCD是圓內接梯形，
∴ ABCD是等腰梯形
設： 梯形腰AD=BC=x，(0
2 則： AE=x∕2R，
由等腰梯形性質易得：
2 DC=2(R-AE)=2(R-x∕2R)，
22 ∴ 梯形周長S=2R+2x+2(R-x∕2R)=-1/R·x+2x+4R
2 =-1/R·(x-R)+5R (0
∵ -1/R<0， 圖象開口向下，
∴ 在定義域內取x=R時，S有最大值，
2 ∴ AD=BC=R DC=2(R-x∕2R)=R
答：周長最大的梯形是下底等于直徑，腰長與上底均等于半徑的半圓內接梯形。
3.學生練習 (練習題：第四大題)
某生產隊要辦一個養雞場，準備用籬笆圍成一個矩形的場地。現
在有可以圍60米長籬笆的材料，場地的長和寬應當各是多少米，才
能使場地的面積為最大?
[簡解] 設：場地的長為x米， 則：場地的寬為(30-x)米。
22 ∴場地的面積S=x(30-x)=-x+30x=-(x-15)+225
∵ a=-1<0， ∴拋物線開口向下
∴ 當x=15時，S有最大值，S最大值=225。
且這時，場地的寬=(30-15)=15。
答：場地應當是邊長等于15米的正方形，才能使場地的面積為最大。
4.備用例題(以時間而定)
2 例4. 當1≤x≤1000時，求 y=(lgx)-2lgx+3的最大值與最小值。
[分析] 本題明顯可看出，函數y可視為以lgx為變量的二次函
數形式，只要通過換元，再利用二次函數性質可求得。但是，在解題
的過程中必須考慮到對數函數的單調性及新函數的值域和定義域的變
化，這也是此類題型的要點與難點。
解：設t=lgx 則 y=t-2t+3=(t-1)+2，
∵ t=lgx在[1，1000] 且 lg1=0; lg1000=3
∴ 0≤t≤ 如右圖所示，在區間0≤t≤3上， 圖象中A點最高，B點最低。
2 ∵ 當t=3時，y=(3-1)+2=6
當t=1時，y=2
∴ 當t=3時，y最大值為6;當t=1時，y最小值為2。 又 當t=3時，lgx=3 ∴ x=1000
當t=1時，lgx=1 ∴ x=10
即當x=1000時，y最大值=6; 當x=10時，y最小值=2。
5.課堂小結
本節課主要介紹了，求函數的值域與最值的各種方法，講述
了最值與極值的不同概念及求復合函數值域的祥細的步驟。教學
宗旨希望學生通過學習，能熟練掌握及綜合運用二次函數的性質，
進一步掌握函數的值域與最值的求法。以培養學生實踐第一等觀點。
6.布置作業：練習題 五(1)(2)(3)(4)六(1)(2)
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