二次函數教案

二次函數教案

　　作為一位不辭辛勞的人民教師，往往需要進行教案編寫工作，教案是教學活動的依據，有著重要的地位。那要怎么寫好教案呢？下面是小編收集整理的二次函數教案，僅供參考，歡迎大家閱讀。

二次函數教案1

　　教學目標：

　　1、使學生能利用描點法正確作出函數y＝ax2＋b的圖象。

　　2、讓學生經歷二次函數y＝ax2＋b性質探究的過程，理解二次函數y＝ax2＋b的性質及它與函數y＝ax2的關系。

　　教學重點：會用描點法畫出二次函數y＝ax2＋b的圖象，理解二次函數y＝ax2＋b的性質，理解函數y＝ax2＋b與函數y＝ax2的相互關系。

　　教學難點：正確理解二次函數y＝ax2＋b的性質，理解拋物線y＝ax2＋b與拋物線y＝ax2的關系。

　　教學過程：

　　一、提出問題導入新課

　　1．二次函數y＝2x2的圖象具有哪些性質？

　　2．猜想二次函數y＝2x2＋1的圖象與二次函數y＝2x2的圖象開口方向、對稱軸和頂點坐標是否相同?

　　二、學習新知

　　1、問題1：畫出函數y＝2x2和函數y＝2x2＋1的圖象，并加以比較

　　問題2，你能在同一直角坐標系中，畫出函數y＝2x2與y＝2x2＋1的圖象嗎?

　　同學試一試，教師點評。

　　問題3：當自變量x取同一數值時，這兩個函數的函數值（既y）之間有什么關系?反映在圖象上，相應的`兩個點之間的位置又有什么關系?

　　讓學生觀察兩個函數圖象，說出函數y＝2x2＋1與y＝2x2的圖象開口方向、對稱軸相同，頂點坐標，函數y＝2x2的圖象的頂點坐標是(0，0)，而函數y＝2x2＋1的圖象的頂點坐標是(0，1)。

　　師：你能由函數y＝2x2的性質，得到函數y＝2x2＋1的一些性質嗎?

　　小組相互說說（一人記錄，其余組員補充）

　　2、小組匯報：分組討論這個函數的性質并歸納：當x＜0時，函數值y隨x的增大而減小；當x＞0時，函數值y隨x的增大而增大，當x＝0時，函數取得最小值，最小值y＝1。

　　3、做一做

　　在同一直角坐標系中畫出函數y＝2x2－2與函數y＝2x2的圖象，再作比較，說說它們有什么聯系和區別?

　　三、小結

　　1、在同一直角坐標系中，函數y＝ax2＋k的圖象與函數y＝ax2的圖象具有什么關系? 2．你能說出函數y＝ax2＋k具有哪些性質?

　　四、作業： 在同一直角坐標系中，畫出 (1)y＝－2x2與y＝－2x2－2；的圖像

　　五：板書

二次函數教案2

　　學習目標：

　　1、能解釋二次函數 的圖像的位置關系;

　　2、體會本節中圖形的變化與 圖形上的點的坐標變化之間的關系(轉化)，感受形數 結合的數學思想等。

　　學習重點與難點：

　　對二次函數 的圖像的位置關系解釋和研究問題的數學方法的感受是學習重點;難點是對數學問題研究問題方法的感受和領悟。

　　學習過程：

　　一、知識準備

　　本節課的學習的內容是課本P12-P14的內容,內容較長，課本上問題較多，需要你操作、觀察、思考和概括，請你注意：學習時要圈、點、勾、畫，隨時記錄甚至批注課本，想想那個人是如何研究出來的。你有何新的發現呢?

　　二、學習內容

　　1.思考：二次函數 的圖象是個什么圖形?是拋物線嗎?為什么?(請你仔細看課本P12-P13，作出合理的解釋)

　　x -3 -2 -1

　　0 1 2 3

　　類似的：二次函數 的圖象與函數 的圖象有什么關系?

　　它的對稱軸、頂點、最值、增減性如何?

　　2.想一想：二次函數 的圖象是拋物線嗎?如果結合下表和看課本P13-P14你的解釋是什么?

　　x

　　-8 -7 -6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

　　類似的：二次函數 的圖象與二次函數 的圖象有什么關系 ?它的對稱軸、頂點呢?它的對稱軸、頂點、最值、增減性如何呢

　　三、知識梳理

　　1、二次函數 圖像的形狀，位置的關系是：

　　2、它們的性質是：

　　四、達標測試

　　⒈將拋物線y=4x2向上平移3個單位，所得的拋物線的函數式是 。

　　將拋物線y=-5x2+1向下平移5個單位,所得的拋物線的函數式是 。

　　將函數y=-3x2+4的圖象向 平移 個單位可得y=-3x2的`圖象;

　　將y=2x2-7的圖象向 平移 個單位得到可由 y=2x2的圖象。

　　將y=x2-7的圖象向 平移 個單位 可得到 y=x2+2的圖象。

　　2.拋物線y=-3(x-1)2可以看作是拋物線y=-3x2沿x 軸 平移了 個單位;

　　拋物線y=-3(x+1)2可以看作是拋物線y=-3x2沿x軸 平移了 個單位.

　　拋物線y=-3(x-1)2的頂點是 ;對稱軸 是 ;

　　拋物線y=-3(x+1)2的頂點是 ;對稱軸是 .

　　3.拋物線y=-3(x-1)2在對稱軸(x=1)的左側,即當x 時, y隨著x的增大而 ; 在對稱軸(x=1)右側,即當x 時, y隨著x的增大而 .當x= 時,函數y有最 值,最 值是 ;

　　二次 函數y=2x2+5的圖像是 ，開口 ，對稱軸是 ，當x= 時，y有最 值，是 。

　　4.將函數y=3 (x-4)2的圖象沿x軸對折后得到的函數解析式是 ;

　　將函數y=3(x-4)2的 圖象沿y軸對折后得到的函數解析式是 ;

　　5.把拋物線y=a(x-4)2向左平移6個單位后得到拋物線y=- 3(x-h)2的圖象，則a= ，h= .

　　函數y=(3x+6)2的圖象是由函數 的圖象向左平移5個單位得到的，其圖象開口向 ，對稱軸是 ，頂點坐標是 ，當x 時，y隨x的增大而增大，當x= 時，y有最 值是 .

　　6.已知二次函數y=ax2+c ，當x取x1,x2(x1x2), x1,x2分別是A,B兩點的橫坐標)時，函數值相等，

　　則當x取x1+x2時，函數值為 ( )

　　A. a+c B. a-c C. c D. c

　　7.已知二次函數y=a(x-h)2, 當x=2時有最大值，且此函數的圖象經過點(1，-3)，求此函數的解析式，并指出當x為何值時，y隨x的增大而增大?

二次函數教案3

　　教學目標：

　　讓學生經歷根據不同的條件，利用待定系數法求二次函數的函數關系式。

　　重點：二次函數表達式的形式的選擇

　　難點：各種隱含條件的挖掘

　　教法：引導發現法

　　教學過程：

　　（一）診斷補償，情景引入：

　　1、二次函數的一般式是什么

　　2、二次函數的圖象及性質

　　（先讓學生復習，然后提問，并做進一步診斷）

　　（二）問題導航，探究釋疑：

　　一般地，函數關系式中有幾個獨立的系數，那么就需要有相同個數的獨立條件才能求出函數關系式。例如：我們在確定一次函數的關系式時，通常需要兩個立的條件：確定反比例函數的關系式時，通常只需要一個條件：如果要確定二次函數的關系式，又需要幾個條件呢？

　　（三）精講提煉，揭示本質：

　　例1。某涵洞是拋物線形，它的截面如圖26。2。9所示，現測得水面寬1。6m，涵洞頂點O到水面的距離為2。4m，在圖中直角坐標系內，涵洞所在的拋物線的函數關系式是什么？

　　分析如圖，以AB的垂直平分線為y軸，以過點O的y軸的垂線為x軸，建立了直角坐標系。這時，涵洞所在的拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，開口向下，所以可設它的函數關系式是。此時只需拋物線上的一個點就能求出拋物線的函數關系式。

　　解由題意，得點B的坐標為（0。8，-2。4），

　　又因為點B在拋物線上，將它的坐標代入，得所以因此，函數關系式是。

　　例2、根據下列條件，分別求出對應的二次函數的關系式。

　　（1）已知二次函數的圖象經過點A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；

　　（2）已知拋物線的頂點為（1，-3），且與y軸交于點（0，1）；

　　（3）已知拋物線與x軸交于點M（-3，0）（5，0）且與y軸交于點（0，-3）；

　　（4）已知拋物線的頂點為（3，-2），且與x軸兩交點間的距離為4。

　　分析（1）根據二次函數的圖象經過三個已知點，可設函數關系式為的形式；（2）根據已知拋物線的頂點坐標，可設函數關系式為，再根據拋物線與y軸的交點可求出a的值；（3）根據拋物線與x軸的兩個交點的坐標，可設函數關系式為，再根據拋物線與y軸的交點可求出a的值；（4）根據已知拋物線的頂點坐標（3，-2），可設函數關系式為，同時可知拋物線的對稱軸為x=3，再由與x軸兩交點間的距離為4，可得拋物線與x軸的兩個交點為（1，0）和（5，0），任選一個代入，即可求出a的值。

　　解（1）設二次函數關系式為，由已知，這個函數的圖象過（0，-1），可以得到c= -1。又由于其圖象過點（1，0）、（-1，2）兩點，可以得到

　　解這個方程組，得a=2，b= -1。

　　所以，所求二次函數的關系式是。

　　（2）因為拋物線的頂點為（1，-3），所以設二此函數的關系式為，又由于拋物線與y軸交于點（0，1），可以得到解得。

　　所以，所求二次函數的關系式是。

　　（3）因為拋物線與x軸交于點M（-3，0）、（5，0），

　　所以設二此函數的關系式為。

　　又由于拋物線與y軸交于點（0，3），可以得到解得。

　　所以，所求二次函數的關系式是。

　　（4）根據前面的分析，本題已轉化為與（2）相同的題型請同學們自己完成。

　　（四）題組訓練，拓展遷移：

　　1、根據下列條件，分別求出對應的二次函數的關系式。

　　（1）已知二次函數的圖象經過點（0，2）、（1，1）、（3，5）；

　　（2）已知拋物線的頂點為（-1，2），且過點（2，1）；

　　（3）已知拋物線與x軸交于點M（-1，0）、（2，0），且經過點（1，2）。

　　2、二次函數圖象的'對稱軸是x= -1，與y軸交點的縱坐標是–6，且經過點（2，10），求此二次函數的關系式。

　　（五）交流評價，深化知識：

　　確定二此函數的關系式的一般方法是待定系數法，在選擇把二次函數的關系式設成什么形式時，可根據題目中的條件靈活選擇，以簡單為原則。二次函數的關系式可設如下三種形式：（1）一般式：，給出三點坐標可利用此式來求。

　　（2）頂點式：，給出兩點，且其中一點為頂點時可利用此式來求。

　　（3）交點式：，給出三點，其中兩點為與x軸的兩個交點、時可利用此式來求。

　　本課課外作業1。已知二次函數的圖象經過點A（-1，12）、B（2，-3），

　　（1）求該二次函數的關系式；

　　（2）用配方法把（1）所得的函數關系式化成的形式，并求出該拋物線的頂點坐標和對稱軸。

　　2、已知二次函數的圖象與一次函數的圖象有兩個公共點P（2，m）、Q（n，-8），如果拋物線的對稱軸是x= -1，求該二次函數的關系式

二次函數教案4

　　二次函數的教學設計

　　教學內容：人教版九年義務教育初中第三冊第108頁

　　教學目標：

　　1。 1。 理解二次函數的意義；會用描點法畫出函數y=ax2的圖象，知道拋物線的有關概念；

　　2。 2。 通過變式教學，培養學生思維的敏捷性、廣闊性、深刻性；

　　3。 3。 通過二次函數的教學讓學生進一步體會研究函數的一般方法；加深對于數形結合思想認識。

　　教學重點：二次函數的意義；會畫二次函數圖象。

　　教學難點：描點法畫二次函數y=ax2的圖象，數與形相互聯系。

　　教學過程設計：

　　一 創設情景、建模引入

　　我們已學習了正比例函數及一次函數，現在來看看下面幾個例子：

　　1。寫出圓的半徑是R（CM），它的面積S（CM2）與R的關系式

　　答：S=πR2。 ①

　　2。寫出用總長為60M的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S（M2）與矩形一邊長L（M）之間的關系

　　答：S=L（30-L）=30L-L2 ②

　　分析：①②兩個關系式中S與R、L之間是否存在函數關系？

　　S是否是R、L的一次函數？

　　由于①②兩個關系式中S不是R、L的一次函數，那么S是R、L的什么函數呢？這樣的函數大家能不能猜想一下它叫什么函數呢？

　　答：二次函數。

　　這一節課我們將研究二次函數的有關知識。（板書課題）

　　二 歸納抽象、形成概念

　　一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0) ，

　　那么，y叫做x的二次函數。

　　注意：(1)必須a≠0，否則就不是二次函數了。而b，c兩數可以是零。(2) 由于二次函數的解析式是整式的形式，所以x的取值范圍是任意實數。

　　練習：1。舉例子：請同學舉一些二次函數的例子，全班同學判斷是否正確。

　　2。出難題：請同學給大家出示一個函數，請同學判斷是否是二次函數。

　　（若學生考慮不全，教師給予補充。如：；；； 的形式。）

　　（通過學生觀察、歸納定義加深對概念的理解，既培養了學生的實踐能力，有培養了學生的探究精神。并通過開放性的練習培養學生思維的發散性、開放性。題目用了一些人性化的詞語，也增添了課堂的趣味性。）

　　由前面一次函數的學習，我們已經知道研究函數一般應按照定義、圖象、性質、求解析式幾個方面進行研究。二次函數我們也會按照定義、圖象、性質、求解析式幾個方面進行研究。

　　（在這里指出學習函數的一般方法，旨在及時進行學法指導；并將此方法形成技能，以指導今后的學習；進一步培養終身學習的能力。）

　　三 嘗試模仿、鞏固提高

　　讓我們先從最簡單的二次函數y=ax2入手展開研究

　　1。 1。 嘗試：大家知道一次函數的圖象是一條直線，那么二次函數的圖象是什么呢？

　　請同學們畫出函數y=x2的圖象。

　　（學生分別畫圖，教師巡視了解情況。）

　　2。 2。 模仿鞏固：教師將了解到的各種不同圖象用實物投影向大家展示，到底哪一個對呢？下面師生共同畫出函數y=x2的圖象。

　　解：一、列表：

　　二、描點、連線： 按照表格，描出各點。然后用光滑的曲線，按照x(點的橫坐標)由小到大的順序把各點連結起來。

　　對照教師畫的圖象一一分析學生所畫圖象的正誤及原因，從而得到畫二次函數圖象的幾點注意。

　　練習：畫出函數;的圖象（請兩個同學板演）

　　畫好之后教師根據情況講評，并引導學生觀察圖象形狀得出：二次函數 y=ax2的'圖象是一條拋物線。

　　（這里，教師在學生自己探索嘗試的基礎上，示范畫圖象的方法和過程，希望學生學會畫圖象的方法；并及時安排練習鞏固剛剛學到的新知識，通過觀察，感悟拋物線名稱的由來。）

　　三 運用新知、變式探究

　　畫出函數 y=5x2圖象

　　學生在畫圖象的過程當中遇到函數值較大的困難，不知如何是好。

　　教師出示已畫好的圖象讓學生觀察

　　注意：1。 畫圖象應描7個左右的點，描的點越多圖象越準確。

　　2。 自變量X的取值應注意關于Y軸對稱。

　　3。 對于不同的二次函數自變量X的取值應更加靈活，例如可以取分數。

　　四。 四。 歸納小結、延續探究

　　教師引導學生觀察表格及圖象，歸納y=ax2的性質，學生們暢所欲言，各抒己見；互相改進，互相完善。最終得到如下性質：

　　一般的，二次函數y=ax2的圖象是一條拋物線，對稱軸是Y軸，頂點是坐標原點；當a＞0時，圖象的開口向上，最低點為(0，0)；當a＜0時，圖象的開口向下，最高點為(0，0)。

　　五 回顧反思、總結收獲

　　在這一環節中，教師請同學們回顧一節課的學習暢談自己的收獲或多、或少、或幾點、或全面，總之是人人有所得，個個有提高。這也正是新課標中所倡導的新的理念——不同的人在數學上得到不同的發展。

　　（在整個一節課上，基本上是學生講為主，教師講為輔。一些較為困難的問題，我也鼓勵學生大膽思考，積極嘗試，不怕困難，一個人完不成，講不透，第二個人、第三個人補充，直到完成整個例題。這樣上課氣氛非常活躍，學生之間常會因為某個觀點的不同而爭論，這就給教師提出了更高的要求，一方面要控制好整節課的節奏，另一方面又要察言觀色，適時地對某些觀點作出判斷，或與學生一同討論。）

二次函數教案5

　　教學目標

　　掌握二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點個數與一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情況之間的關系。

　　重點、難點：

　　二次函數y=ax2+bx+c的圖象與一元二次方程ax2+bx+c=0的根之間關系的探索。

　　教學過程：

　　一、情境創設

　　一次函數y=x+2的圖象與x軸的交點坐標

　　問題1.任意一次函數的圖象與x軸有幾個交點？

　　問題2.猜想二次函數圖象與x軸可能會有幾個交點？可以借助什么來研究？

　　二、探索活動

　　活動一觀察

　　在直角坐標系中任意取三點A、B、C，測出它們的`縱坐標，分別記作a、b、c，以a、b、c為系數繪制二次函數y=ax2+bx+c的圖象，觀察它與x軸交點數量的情況；任意改變a、b、c值后，觀察交點數量變化情況。

　　活動二觀察與探索

　　如圖1，觀察二次函數y=x2-x-6的圖象，回答問題:

　　(1)圖象與x軸的交點的坐標為A(，),B(，)

　　(2)當x=時，函數值y=0。

　　(3)求方程x2-x-6=0的解。

　　(4)方程x2-x-6=0的解和交點坐標有何關系？

　　活動三猜想和歸納

　　(1)你能說出函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點個數的'其它情況嗎？猜想交點個數和方程ax2+bx+c=0的根的個數有何關系。

　　（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的個數由什么來判斷？

　　這樣我們可以把二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點、一元二次方程ax2+bx+c=0的實數根和根的判別式三者聯系起來。

　　三、例題分析

　　例1.不畫圖象，判斷下列函數與x軸交點情況。

　　(1)y=x2-10x+25

　　(2)y=3x2-4x+2

　　(3)y=-2x2+3x-1

　　例2.已知二次函數y=mx2+x-1

　　(1)當m為何值時，圖象與x軸有兩個交點

　　(2)當m為何值時，圖象與x軸有一個交點？

　　(3)當m為何值時，圖象與x軸無交點？

　　四、拓展練習

　　1.如圖2，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B。

　　(1)請寫出方程ax2+bx+c=0的根

　　(2)列舉一個二次函數，使其圖象與x軸交于(1,0)和(4,0)，且適合這個圖象。

　　2.列舉一個二次函數，使其圖象開口向上，且與x軸交于(-2,0)和(1,0)

　　五、小結

　　這節課我們有哪些收獲？

　　六、作業

　　求證：二次函數y=x2+ax+a-2的圖象與x軸一定有兩個不同的交點。

二次函數教案6

　　知識技能

　　1. 能列出實際問題中的二次函數關系式;

　　2. 理解二次函數概念;

　　3. 能判斷所給的函數關系式是否二次函數關系式;

　　4. 掌握二次函數解析式的幾種常見形式.

　　過程方法

　　從實際問題中感悟變量間的二次函數關系，揭示二次函數概念.學生經歷觀察、思考、交流、歸納、辨析、實踐運用等過程，體會函數中的常量與變量，深刻領悟二次函數意義

　　情感態度

　　使學生進一步體驗函數是描述變量間對應關系的重要數學模型，培養學生合作交流意識和探索能力。

　　教學重點

　　理解二次函數的意義，能列出實際問題中二次函數解析式

　　教學難點

　　能列出實際問題中二次函數解析式

　　教學過程設計

　　教學程序及教學內容 師生行為 設計意圖

　　一、情境引入

　　播放實際生活中的有關拋物線的圖片，概括性的介紹本章.

　　二、探究新知

　　㈠、用函數關系式表示下列問題中變量之間的'關系：

　　1.正方體的棱長是x，表面積是y,寫出y關于x的'函數關系式;

　　2.n邊形的對角線條數d與邊數n有什么關系?

　　3.某工廠一種產品現在的年產量是20件，計劃今后兩年增加產量，如果每年都必上一年的產量增加x倍，那么兩年后這種產品的'產量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關系應怎樣表示?

　　㈡觀察所列函數關系式，看看有何共同特點?

　　㈢類比一次函數和反比例函數概念揭示二次函數概念：

　　一般地，形如 的函數，叫做二次函數。其中，x是自變量，a,b,c分別是函數表達式的二次項系數、一次項系數和常數項。

　　實質上，函數的名稱都反映了函數表達式與自變量的關系.

　　三、課堂訓練(略)

　　四、小結歸納：

　　學生談本節課收獲

　　1.二次函數概念

　　2.二次函數與一次函數的區別與聯系

　　3.二次函數的4種常見形式

　　五、作業設計

　　㈠教材16頁1、2

　　㈡補充：

　　1、①y=-x2②y=2x③y=22+x2-x3④m=3-t-t2是二次函數的是

　　2、用一根長60cm的鐵絲圍成一個矩形,矩形面積S(cm2)與它的一邊長x(cm)之間的函數關系式是__.

　　3、小李存入銀行人民幣500元，年利率為x%，兩年到期，本息和為y元(不含利息稅)，y與x之間的函數關系是__，若年利率為6%，兩年到期的本利共__元.

　　4、在△ABC中，C=90,BC=a,AC=b,a+b=16,則RT△ABC的面積S與邊長a的關系式是__;當a=8時，S=__;當S=24時，a=__.

　　5、當k=__時， 是二次函數.

　　6、扇形周長為10，半徑為x，面積為y，則y與x的函數關系式為__.

　　7、已知s與 成正比例，且t=3時，s=4，則s與t的函數關系式為__.

　　8、下列函數不屬于二次函數的是( )

　　A.y=(x-1)(x+2) B.y= (x+1)2 C.y=2(x+3)2-2x2 D.y=1- x2

　　9、若函數 是二次函數,那么m的值是( )

　　A.2 B.-1或3 C.3 D.

　　10、一塊草地是長80 m、寬60 m的矩形，在中間修筑兩條互相垂直的寬為x m的小路，這時草坪面積為y m2.求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

二次函數教案7

　　I.定義與定義表達式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

　　y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c為常數，a0，且a決定函數的開口方向，a0時，開口方向向上，a0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.)

　　則稱y為x的二次函數。

　　二次函數表達式的'右邊通常為二次三項式。

　　II.二次函數的三種表達式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a0)

　　頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]

　　交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：

　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-bb^2-4ac)/2a

　　III.二次函數的圖像在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，

　　可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

二次函數教案8

　　【知識與技能】

　　1.會用描點法畫二次函數=ax2+bx+c的圖象.

　　2.會用配方法求拋物線=ax2+bx+c的頂點坐標、開口方向、對稱軸、隨x的增減性.

　　3.能通過配方求出二次函數=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函數的性質求實際問題中的最大值或最小值.

　　【過程與方法】

　　1.經歷探索二次函數=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的作法和性質的過程，體會建立二次函數=ax2+bx+c(a≠0)對稱軸和頂點坐標公式的必要性.

　　2.在學習=ax2+bx+c(a≠0)的性質的過程中，滲透轉化（化歸）的思想.

　　【情感態度】

　　進一步體會由特殊到一般的化歸思想,形成積極參與數學活動的意識.

　　【教學重點】

　　①用配方法求=ax2+bx+c的頂點坐標；②會用描點法畫=ax2+bx+c的圖象并能說出圖象的性質.

　　【教學難點】

　　能利用二次函數=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸和頂點坐標公式，解決一些問題，能通過對稱性畫出二次函數=ax2+bx+c(a≠0)的圖象.

　　一、情境導入，初步認識

　　請同學們完成下列問題.

　　1.把二次函數=-2x2+6x-1化成=a(x-h)2+的形式.

　　2.寫出二次函數=-2x2+6x-1的'開口方向，對稱軸及頂點坐標.

　　3.畫=-2x2+6x-1的圖象.

　　4.拋物線=-2x2如何平移得到=-2x2+6x-1的圖象.

　　5.二次函數=-2x2+6x-1的隨x的增減性如何？

　　【教學說明】上述問題教師應放手引導學生逐一完成，從而領會=ax2+bx+c與=a(x-h)2+的轉化過程.

　　二、思考探究，獲取新知

　　探究1 如何畫=ax2+bx+c圖象，你可以歸納為哪幾步？

　　學生回答、教師點評：

　　一般分為三步：

　　1.先用配方法求出=ax2+bx+c的對稱軸和頂點坐標.

　　2.列表,描點,連線畫出對稱軸右邊的部分圖象.

　　3.利用對稱點,畫出對稱軸左邊的部分圖象.

　　探究2 二次函數=ax2+bx+c圖象的性質有哪些？你能試著歸納嗎？

二次函數教案9

　　教學目標

　　1．知識與技能

　　了解函數的概念，弄清自變量與函數之間的關系．

　　2．過程與方法

　　經歷探索函數概念的過程，感受函數的模型思想．

　　3．情感、態度與價值觀

　　培養觀察、交流、分析的思想意識，體會函數的實際應用價值．

　　重、難點與關鍵

　　1．重點：認識函數的概念．

　　2．難點：對函數中自變量取值范圍的確定．

　　3．關鍵：從實際出發，由具體到抽象，建立函數的模型．

　　教學方法

　　采用“情境──探究”的方法，讓學生從具體的情境中提升函數的思想方法．

　　教學過程

　　一、回顧交流，聚焦問題

　　1．變量（P94）中5個思考題．

　　【教師提問】

　　同學們通過學習“變量”這一節內容，對常量和變量有了一定的認識，請同學們舉出一些現實生活中變化的實例，指出其中的常量與變量．

　　【學生活動】思考問題，踴躍發言．（先歸納出5個思考題的關系式，再舉例）

　　【教師活動】激發興趣，鼓勵學生聯想，2．在地球某地，溫度T（℃）與高度d（m）的關系可以挖地用T=10-來表示（如圖），請你根據這個關系式回答下列問題：

　　（1）指出這個關系式中的變量和常量．

　　（2）填寫下表．

　　高度d/m 0，200，400，600，800，1000

　　溫度T/℃

　　（3）觀察兩個變量之間的聯系，當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就______．

　　3．課本P7“觀察”．

　　【學生活動】四人小組互動交流，踴躍發言

　　二、討論交流，形成概念

　　【函數定義】

　　一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數．

　　【教師活動】歸納出函數的定義．強調在上述活動中的關系式是函數關系式．提問學生，兩個變量中哪個是自變量呢？哪個是這個自變量的函數？

　　【學生活動】辨析理解，如：T=10-這個函數關系式中，d是自變量，T是d的函數等．弄清函數定義中的問題。

　　三、繼續探究，感知輕重

　　課本P8探究題．

　　【學生活動】使用計算器進行探索活動，回答問題，理解函數概念．（1）y=2x+5，y是x的函數；（2）y=2x+1，y是x的函數．

　　四、范例點擊，提高認知

　　【例1】一輛汽車的油箱中現有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為/km．

　　（1）寫出表示y與x的函數關系的式子．

　　（2）指出自變量x的'取值范圍．

　　（3）汽車行駛200km時，油箱中還有多少汽油？

　　【教師活動】講例，啟發引導學生共同解決上述例1．

　　五、隨堂練習，鞏固深化

　　課本P99練習．

　　六、課堂總結，發展潛能

　　1．用數學式子表示函數的方法叫做表達式法（解析式法），它只是函數表示法的一種．

　　2．求函數的自變量取值范圍的方法．

　　（1）要使函數的表達式有意義；

　　（2）對實際問題中的函數關系，要使實際問題有意義．

　　3．把所給自變量的值代入函數表達式中，就可以求出相應的函數值．

　　七、布置作業，專題突破

　　課本P106習題14．1第1，2，3，4題．

　　板書設計

　　函數

　　1、函數的概念例：

　　2、函數中自變量取值范圍的確定

二次函數教案10

　　一. 教材分析

　　1、教材的地位及作用

　　函數是一種重要的數學思想，是實際生活中數學建模的重要工具，二次函數的教學在初中數學教學中有著重要的地位。本節內容的教學，在函數的教學中有著承上啟下的作用。它既是對已學一次函數及反比例函數的復習，又是對二次函數知識的延續和深化，為將來二次函數一般情形的教學乃至高中階段函數的教學打下基礎，做好鋪墊。

　　2.教學目標

　　(1) 掌握二此函數的概念并能夠根據實際問題，熟練地列出二次函數關系式，并求出函數的自變量的取值范圍。注重學生參與，聯系實際，豐富學生的感性認識，培養學生的良好的學習習慣。[知識與技能目標]

　　(2)讓學生經歷觀察、比較、歸納、應用，以及猜想、驗證的學習過程，使學生掌握類比、轉化等學習數學的方法，養成既能自主探索，又能合作探究的良好學習習慣。[過程與方法目標]

　　(3) 讓學生在數學活動中學會與人相處，感受探索與創造，體驗成功的喜悅，[情感、態度、價值觀目標]

　　3、教學的重、難點

　　重點：二次函數的概念和解析式

　　難點：本節“合作學習”涉及的實際問題有的較為復雜，要求學生有較強的概括能力

　　4、 學情分析

　　①學生已掌握一次函數，反比例函數的概念,圖象的畫法，以及它們圖象的性質。 ②學生個性活潑，積極性高，初步具有對數學問題進行合作探究的意識與 能力。

　　③初三學生程度參差不齊，兩極分化已形成。

　　二、教法學法分析

　　1` 教法(關鍵詞：情境、探究、分層)

　　基于本節課內容的特點和初三學生的年齡特征，我以“探究式”體驗教學法和“啟發式”教學法 為主進行教學。讓學生在開放的情境中，在教師的 引導啟發下，同學的合作幫助下，通過探究發現，讓學生經歷數學知識的形成和應用過程，加深對數學知識的理解。教師著眼于引導，學生著眼于探索，側重于學生能力的提高、思維的訓練。同時考慮到學生的個體差異，在教學的`各個環節中進行分層施教。

　　2、學法(關鍵詞：類比、自主、合作)

　　根據學生的思維特點、認知水平，遵循“教必須以學為立足點”的教育理念，讓每一個學生自主參與整堂課的知識構建。在各個環節中引導學生類比遷移，對照學習。以自主探索為主，學會合作交流，在師生互動、生生互動中讓每個學生動口，動手，動腦，培養學生學習的主動性和積極性，使學生由“學會”變“會學”和“樂學”。

　　3、教學手段

　　采用多媒體教學，直觀呈現拋物線和諧、對稱的美，激發學生的學習 興趣，參與熱情，增大教學容量，提高教學效率。

　　三、教學過程

　　完整的數學學習過程是一個不斷探索、發現、驗證的過程，根據新課標要求，根據“以人為本，以學定教”的教學理念，結合學生實際，制訂以下教學流程：

　　(一).創設情境 溫故引新

　　以提問的形式復習一元二次方程的一般形式，一次函數，反比例函數的定義，然后讓學生欣賞一組優美的有關拋物線的圖案，創設情境：

　　(1)你們喜歡打籃球嗎?

　　(2)你們知道：投籃時，籃球運動的路線是什么曲線?怎樣計算籃球達到最高點時的高度?

　　從而引出課題〈〈二次函數〉〉，導入新課

　　(二).合作學習，探索新知

　　為了更貼近生活，我先設計了兩個和實際生活有關的練習題。鼓勵學生積極發言，充分調動學生的主動性。然后出示課本上的兩個問題，在這個環節中，我讓學生在教師的引導下，先獨立思考，再以小組為單位交流成果，以培養學生自主探索、合作探究的能力。四個解析式都列出來后。讓學生通過觀察與思考，這些解析式有什么共同特征，啟發學生用自己的語言總結，從而得出二次函數的概念，并且提高了學生的語言表達能力。

　　學生在學習二次函數的概念時要求學生既要知道表示二次函數的解析式中字母的意義,還要能根據給出的函數解析式判斷一個函數是不是二次函數

　　(三)當堂訓練 鞏固提高

　　由于學生層次不一，練習的設計充分考慮到學生的個體差異，滿足不同層次學生的學習需求，實現有“差異的”發展。讓每一個學生都感受成功的喜悅。我設計了3道練習題，其難易程度逐步提高，第一道題面對所有的學生，學生可以根據二次函數的概念直接判斷，但需要強調該化簡的必須化簡后才可以判斷。第二道題讓學生逆向思維，根據條件自己寫二次函數，從而加深了對二次函數概念的理解。最后一道題綜合性較強，可以提高他們的綜合素質。

　　(四).小結歸納 拓展轉化

　　讓學生用自己的語言談談自己的收獲，可以將這一節的知識條理化，進一步掌握二次函數的概念。

　　(五)布置作業 學以致用

　　作業分必做題、選做題，體現分層思想，通過作業，內化知識，檢驗學生掌握知識的情況，發現和彌補教與學中遺漏與不足。同時，選做題具有總結性，可引導學生研究二次函數,一次函數,正比例函數的聯系.

　　四.評價分析

　　本節課的教學從學生已有的認知基礎出發，以學生自主探索、合作交流為主線，讓學生經歷數學知識的形成與應用過程，加深對所學知識的理解，從而突破重難點。整節課注重學生能力的培養和習慣的養成。由于學生的層次不一，我全程關注每一個學生的學習狀態，進行分層施教，因勢利導，隨機應變，適時調整教學環節，，實現評價主體和形式的多樣化，把握評價的時機與尺度，激發學生的學習興趣，激活課堂氣氛，使課堂教學達到最佳狀態。

　　五.教學反思

　　1.本節課通過學生合作交流，自己列出不同問題中的解析式，并通過觀察他們的共同特征，成功得出了二次函數的概念。

　　2.本節課設計的以問題為主線，培養學生有條理思考問題的習慣和歸納概括能力，并重視培養學生的語言表達能力。同時不斷激發學生的探索精神，提高了學生分析和解決問題的能力。使學生有成功體驗。

二次函數教案11

　　在整個中學數學知識體系中，二次函數占據極其關鍵且重要的地位，二次函數不僅是中高考數學的重要考點，也是線性數學知識的基礎。那老師應該怎么教呢?今天，小編給大家帶來初三數學二次函數教案教學方法。

　　一、 重視每一堂復習課 數學復習課不比新課，講的都是已經學過的東西，我想許多老師都和我有相同的體會，那就是復習課比新課難上。

　　二、 重視每一個學生 學生是課堂的主體，離開學生談課堂效率肯定是行不通的。而我校的學生數學基礎大多不太好，上課的積極性普遍不高，對學習的熱情也不是很高，這些都是十分現實的事情，既然現狀無法更改，那么我們只能去適應它，這就對我們老師提出了更高的要求

　　三、做好課外與學生的溝通，學生對你教學理念認同和教學常規配合與否，功夫往往在課外，只有在課外與學生多進行交流和溝通，和學生建立起比較深厚的師生情誼，那么最頑皮的學生也能在他喜歡的老師的課堂上聽進一點

　　四、要多了解學生。你對學生的了解更有助于你的教學，特別是在初三總復習間斷，及時了解每個學生的復習情況有助于你更好的制定復習計劃和備下一堂課，也有利于你更好的改進教學方法。

　　2二次函數教學方法一

　　一、 立足教材，夯實雙基：進行中考數學復習的時候，要立足于教材，重新梳理教材中的典例和習題，就顯得尤為重要.并且要讓學生在掌握的基礎上，能夠做到知識的延伸和遷移，讓解題方法、技巧在學生遇到相似問題時，能在頭腦中再現

　　二、 立足課堂，提高效率：做到教師入題海，學生出題海.教師應多做題、多研究近幾年的中考試題，并根據本班學生的實際情況，從眾多復習資料中，選擇適合本班學生的最佳練習，也可通過對題目的重組。

　　三、教師在設計教學目標時，要做到胸中有書，目中有人，讓每一節課都給學生留有時間，讓他們有獨立思考、合作探究交流的過程，最大限度的調動學生的參與度，激發他們的學習興趣，達到最佳的復習效果.

　　四、激發興趣，提高質量：興趣是學習最好的動力，在上復習課時尤為重要.因此，我們在授課的過程中，在關注知識復習的同時，也要關注學生的學習欲望和學習效果，要讓學生在學習的過程中體驗成功的快感.這樣他們才會更有興趣的學習下去.

　　3二次函數教學方法二

　　1.質疑問難是學生自主學習的重要表現，優化課堂結構，激活學生的主體意識，必須鼓勵學生質疑問難。教師要創造和諧融合的課堂氣氛，允許學生隨時“插嘴”、提問、爭辯，甚至提出與教師不同的看法。

　　2.二次函數是初中階段繼一次函數、反比例函數之后，學生要學習的最后一類重要的代數函數，它也是描述現實世界變量之間關系的重要的數學模型。

　　3.學生有疑而問、質疑問難，是用心思考、自主學習、主動探究的可貴表現，理應得到老師的熱情鼓勵和贊揚。現在對學生的隨時“插嘴”，提出的各種疑難問題，應抱歡迎、鼓勵的態度給與肯定，并做出正確的解釋。

　　4.初中階段主要研究二次函數的概念、圖像和性質，用二次函數的觀點審視一元二次方程，用二次函數的相關知識分析和解決簡單的.實際問題。

　　4二次函數教學方法三

　　1.教學案例、教學設計、教學實錄、教學敘事的區別：教學案例與教案：教案(教學設計)是事先設想的教育教學思路，是對準備實施的教育措施的簡要說明，反映的是教學預期;而教學案例則是對已發生的教育教學過程的描述，反映的是教學結果。

　　2.教學案例與教學實錄：它們同樣是對教育教學情境的描述，但教學實錄是有聞必錄(事實判斷)，而教學案例是根據目的和功能選擇內容，并且必須有作者的反思(價值判斷)。

　　3.教學案例與敘事研究的聯系與區別：從“情景故事”的意義上講，教育敘事研究報告也是一種“教育案例”，但“教學案例”特指有典型意義的、包含疑難問題的、多角度描述的經過研究并加上作者反思(或自我點評)的教學敘事;

　　4.教學案例必須從教學任務分析的目標出發，有意識地選擇有關信息，必須事先進行實地作業，因此日常教育敘事日志可以作為寫作教學案例的素材積累。

二次函數教案12

　　本節課在二次函數y=ax2和y=ax2+c的圖象的基礎上，進一步研究y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象，并探索它們之間的關系和各自的性質.旨在全面掌握所有二次函數的圖象和性質的變化情況.同時對二次函數的研究，經歷了從簡單到復雜，從特殊到一般的過程：先是從y=x2開始，然后是y=ax2，y=ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c.符合學生的認知特點，體會建立二次函數對稱軸和頂點坐標公式的必要性.

　　在教學中，主要是讓學生自己動手畫圖象，通過自己的觀察、交流、對比、概括和反思[

　　等探索活動，使學生達到對拋物線自身特點的認識和對二次函數性質的理解.并能利用它的性質解決問題.

　　2.4二次函數y=ax2+bx+c的圖象(一)

　　教學目標

　　(一)教學知識點[

　　1.能夠作出函數y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象，并能理解它與y=ax2的圖象的關系.理解a，h，k對二次函數圖象的影響.

　　2.能夠正確說出y=a(x-h)2+k圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

　　(二)能力訓練要求

　　1.通過學生自己的探索活動，對二次函數性質的研究，達到對拋物線自身特點的認識和對二次函數性質的理解.

　　2.經歷探索二次函數的圖象的作法和性質的過程，培養學生的探索能力.

　　(三)情感與價值觀要求

　　1.經歷觀察、猜想、總結等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點.

　　2.讓學生學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果.

　　教學重點

　　1.經歷探索二次函數y=ax2+bx+c的圖象的作法和性質的過程.

　　2.能夠作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象，并能理解它與y=ax2的圖象的關系，理解a、h、k對二次函數圖象的影響.

　　3.能夠正確說出y=a(x-h)2+k圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

　　教學難點

　　能夠作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象，并能夠理解它與y=ax2的圖象的關系，理解a、h、k對二次函數圖象的影響.

　　教學方法

　　探索比較總結法.

　　教具準備

　　投影片四張

　　第一張：(記作2.4.1 A)

　　第二張：(記作2.4.1 B)

　　第三張：(記作2.4.1 C)

　　第四張：(記作2.4.1 D)

　　教學過程

　　Ⅰ.創設問題情境、引入新課

　　[師]我們已學習過兩種類型的二次函數，即y=ax2與y=ax2+c，知道它們都是軸對稱圖形，對稱軸都是y軸，有最大值或最小值.頂點都是原點.還知道y=ax2+c的圖象是函數y=ax2的圖象經過上下移動得到的，那么y=ax2的圖象能否左右移動呢?它左右移動后又會得到什么樣的函數形式，它又有哪些性質呢?本節課我們就來研究有關問題.

　　Ⅱ.新課講解

　　一、比較函數y=3x2與y=3(X-1)2的圖象的性質.

　　投影片：(2.4 A)

　　(1)完成下表，并比較3x2和3(x-1)2的值，

　　它們之間有什么關系?

　　X -3 -2 -1 0 1 2 3 4

　　3x2

　　3(x-1)2

　　(2)在下圖中作出二次函數y=3(x-1)2的圖象.你是怎樣作的?

　　(3)函數y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么關系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么?

　　(4)x取哪些值時，函數y=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時，函數y=3(x-1)2的值隨x值的增大而減小?

　　[師]請大家先自己填表，畫圖象，思考每一個問題，然后互相討論，總結.

　　[生](1)第二行從左到右依次填：27.12，3，0，3， 12，27，48;第三行從左到右依次填48，27，12，3，0，3， 12，27.

　　(2)用描點法作出y=3(x-1)2的圖象，如上圖.

　　(3)二次函數)y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點坐標不同，y=3(x-1)2的圖象的對稱軸是直線x=1，頂點坐標是(1，0).

　　(4)當x1時，函數y=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大，x1時，y=3(x-1)2的值隨x值的增大而減小.

　　[師]能否用移動的觀點說明函數y=3x2與y=3(x-1)2的圖象之間的關系呢?

　　[生]y=3(x-1)2的圖象可以看成是函數)y=3x2的圖象整體向右平移得到的.

　　[師]能像上節課那樣比較它們圖象的性質嗎?

　　[生]相同點：

　　a.圖象都中拋物線，且形狀相同，開口方向相同.

　　b. 都是軸對稱圖形.

　　c.都有最小值，最小值都為0.

　　d.在對稱軸左側，y都隨x的增大而減小.在對稱軸右側，y都隨x的增大而增大.

　　不同點：

　　a.對稱軸不同,y=3x2的對稱軸是y軸y=3(x-1)2的對稱軸是x=1.

　　b. 它們的位置不問.[來源:Www.zk5u.com]

　　c. 它們的頂點坐標不同. y=3x2的頂點坐標為(0，0),y=3(x-1)2的頂點坐標為(1，0)，

　　聯系：

　　把函數y=3x2的圖象向右移動一個單位，則得到函數y=3(x-1)2的圖像.

　　二、做一做

　　投影片：(2.4.1 B)

　　在同一直角坐標系中作出函數y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象.并比較它們圖象的性質.

　　[生]圖象如下

　　它們的圖象的性質比較如下：

　　相同點：

　　a.圖象都是拋物線，且形狀相同，開口方向相同.

　　b. 都足軸對稱圖形，對稱軸都為x=1.

　　c. 在對稱軸左側，y都隨x的增大而減小，在對稱軸右側，y都隨x的增大而增大.

　　不同點：

　　a.它們的頂點不同，最值也不同.y=3(x-1)2的頂點坐標為(1.0)，最小值為0.y=3(x-1)2+2的頂點坐標為(1，2)，最小值為2.

　　b. 它們的位置不同.

　　聯系：

　　把函數y=3(x-1)2的圖象向上平移2個單位，就得到了函數y=3(x-1)2+2的.圖象.

　　三、總結函數y=3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的圖象之間的關系.

　　[師]通過上畫的討論，大家能夠總結出這三種函數圖象之間的關系嗎?

　　[生]可以.

　　二次函數y=3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的圖象都是拋物線.并且形狀相同，開口方向相同，只是位置不同，頂點不同，對稱軸不同，將函數y=3x2的圖象向右平移1個單位，就得到函數y=3(x-1)2的圖象;再向上平移2個單位，就得到函數y=3(x-1)2+2的圖象.

　　[師]大家還記得y=3x2與y=3x2-1的圖象之間的關系嗎?

　　[生]記得，把函數y=3x2向下平移1個平位，就得到函數y=3x2-1的圖象.

　　[師]你能系統總結一下嗎?

　　[生]將函數y=3x2的圖象向下移動1個單位，就得到了函數y=3x2-1的圖象，向上移動1個單位，就得到函數y=3x2+1的圖象;將y=3x2的圖象向右平移動1個單位，就得到函數y=3(x-1)2的圖象：向左移動1個單位，就得到函數y=3(x+1)2的圖象;由函數y=3x2向右平移1個單位、再向上平移2個單位，就得到函數y=3(x-1)2+2的圖象.

　　[師]下面我們就一般形式來進行總結.

　　投影片：(2.4.1 C)

　　一般地，平移二次函數y=ax2的圖象便可得到二次函數為y=ax2+c，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的圖象.

　　(1)將y=ax2的圖象上下移動便可得到函數y=ax2+c的圖象，當c0時，向上移動，當c0時，向下移動.

　　(2)將函數y=ax2的圖象左右移動便可得到函數y=a(x-h)2的圖象，當h0時，向右移動，當h0時，向左移動.

　　(3)將函數y=ax2的圖象既上下移，又左右移，便可得到函數y=a(x-h)+k的圖象.

　　因此，這些函數的圖象都是一條拋物線，它們的開口方向，對稱軸和頂點坐標與a，h，k的值有關.

　　下面大家經過討論之后，填寫下表：

　　y=a(x-h)2+k 開口方向 對稱軸 頂點坐標

　　a0

　　a0

　　四、議一議

　　投影片：(2，4.1 D)

　　(1)二次函數y=3(x+1)2的圖象與二次函數y=3x2的圖象有什么關系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么?

　　(2)二次函數y=-3(x-2)2+4的圖象與二次函數y=-3x2的圖象有什么關系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么?

　　(3)對于二次函數y=3(x+1)2，當x取哪些值時，y的值隨x值的增大而增大?當x取哪些值時，y的值隨x值的增大而減小?二次函數y=3(x+1)2+4呢?

　　[師]在不畫圖象的情況下，你能回答上面的問題嗎?

　　[生](1)二次函數y=3(x+1)2的圖象與y=3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點坐標不同，y=3(x+1)2的圖象的對稱軸是直線x=-1，頂點坐標是(-1，0).只要將y=3x2的圖象向左平移1個單位，就可以得到y=3(x+1)2的圖象.

　　(2)二次函數y=-3(x-2)2+4的圖象與y=-3x2的圖象形狀相同，只是位置不同，將函數y=-3x2的圖象向右平移2個單位，就得到y=-3(x-2)2的圖象，再向上平移4個單位，就得到y=-3(x-2)2+4的圖象y=-3(x-2)2+4的圖象的對稱軸是直線x=2，頂點坐標是(2，4).

　　(3)對于二次函數y=3(x+1)2和y=3(x+1)2+4，它們的對稱軸都是x=-1，當x-1時，y的值隨x值的增大而減小;當x-1時，y的值隨x值的增大而增大.

　　Ⅲ.課堂練習

　　隨堂練習

　　Ⅳ.課時小結

　　本節課進一步探究了函數y=3x2與y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的圖象有什么關系，對稱軸和頂點坐標分別是什么這些問題.并作了歸納總結.還能利用這個結果對其他的函數圖象進行討論.

　　Ⅴ.課后作業

　　習題2.4

　　Ⅵ.活動與探究

　　二次函數y= (x+2)2-1與y= (x-1)2+2的圖象是由函數y= x2的圖象怎樣移動得到的?它們之間是通過怎樣移動得到的?

　　解：y= (x+2)2-1的圖象是由y= x2的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到的，y= (x-1)2+2的圖象是由y= x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的.

　　y= (x+2)2-1的圖象向右平移3個單位，再向上平移3個單位得到y= (x-1)2+2的圖象.

　　y= (x-1)2+2的圖象向左平移3個單位，再向下平移3個單位得到y= (x+2)2-1的圖象.

　　板書設計

　　4.2.1 二次函數y=ax2+bx+c的圖象(一) 一、1. 比較函數y=3x2與y=3(x-1)2的

　　圖象和性質(投影片2.4.1 A)

　　2.做一做(投影片2.4.1 B)

　　3.總結函數y=3x2，y=3(x-1)2y= 3(x-1)2+2的圖象之間的關系(投影片2.4.1 C)

　　4.議一議(投影片2.4.1 D)

　　二、課堂練習

　　1.隨堂練習

　　2.補充練習

　　三、課時小結

　　四、課后作業

　　備課資料

　　參考練習

　　在同一直角坐標系內作出函數y=- x2,y=- x2-1,y=- (x+1)2-1的圖象，并討論它們的性質與位置關系.

　　解：圖象略

　　它們都是拋物線，且開口方向都向下;對稱軸分別為y軸y軸，直線x=-1;頂點坐標分別為(0，0)，(0，-1)，(-1，-1).

　　y=- x2的圖象向下移動1個單位得到y=- x2-1 的圖象;y=- x2的圖象向左移動1個單位，向下移動1個單位，得到y=- (x+1)2-1的圖象.

二次函數教案13

　　教學目標

　　熟練地掌握二次函數的最值及其求法。

　　重 點

　　二次函數的的最值及其求法。

　　難 點

　　二次函數的最值及其求法。

　　一、引入

　　二次函數的最值：

　　二、例題分析：

　　例1：求二次函數 的最大值以及取得最大值時 的值。

　　變題1：⑴、 ⑵、 ⑶、

　　變題2：求函數 （ ）的最大值。

　　變題3：求函數 （ ）的最大值。

　　例2：已知 （ ）的最大值為3，最小值為2，求 的取值范圍。

　　例3：若 ， 是二次方程 的兩個實數根，求 的最小值。

　　三、隨堂練習：

　　1、若函數 在 上有最小值 ，最大值2，若 ，

　　則 =________， =________。

　　2、已知 , 是關于 的'一元二次方程 的兩實數根，則 的最小值是（ ）

　　A、0 B、1 C、－1 D、2

　　3、求函數 在區間 上的最大值。

　　四、回顧小結

　　本節課了以下內容：

　　1、二次函數的的最值及其求法。

　　課后作業

　　班級：（ ）班 姓名__________

　　一、基礎題：

　　1、函數 （ ）

　　A、有最大值6 B、有最小值6 C、有最大值10 D、有最大值2

　　2、函數 的最大值是4，且當 =2時， =5，則 =______， =_______。

　　二、提高題：

　　3、試求關于 的函數 在 上的最大值 ,高三。

　　4、已知函數 當 時，取最大值為2，求實數 的值。

　　5、已知 是方程 的兩實根，求 的最大值和最小值。

　　三、題：

　　6、已知函數 ， ，其中 ，求該函數的最大值與最小值，

　　并求出函數取最大值和最小值時所對應的自變量 的值。

二次函數教案14

　　教學目標：

　　（1）理解兩圓相切長等有關概念，掌握兩圓外公切線長的求法；

　　（2）培養學生的歸納、總結能力；

　　（3）通過兩圓外公切線長的求法向學生滲透“轉化”思想。

　　教學重點：

　　理解兩圓相切長等有關概念，兩圓外公切線的求法。

　　教學難點：

　　兩圓外公切線和兩圓外公切線長學生理解的不透，容易混淆。

　　教學活動設計

　　（一）實際問題（引入）

　　很多機器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關系，給我們以一條直線和兩個同時相切的形象。（這里是一種簡單的數學建模，了解數學產生與實踐）

　　兩圓的公切線概念

　　1、概念：

　　教師引導學生自學。給出兩圓的外公切線、內公切線以及公切線長的定義：

　　和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線。

　　(1)外公切線：兩個圓在公切線的同旁時，這樣的公切線叫做外公切線。

　　(2)內公切線：兩個圓在公切線的兩旁時，這樣的公切線叫做內公切線。

　　(3)公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長。

　　2、理解概念：

　　(1)公切線的長與切線的長有何區別與聯系?

　　(2)公切線的長與公切線又有何區別與聯系?

　　(1)公切線的長與切線的`長的概念有類似的地方，即都是線段的長。但公切線的長是對兩個圓來說的，且這條線段是以兩切點為端點；切線長是對一個圓來說的，且這條線段的一個端點是切點，另一個端點是圓外一點。

　　(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點問線段的長，前者不能度量，后者可以度量。

　　（三）兩圓的位置與公切線條數的關系

　　組織學生觀察、概念、概括，培養學生的學習能力。添寫教材P143練習第2題表。

　　（四）應用、反思、總結

　　例1 、已知：⊙O 1 、⊙O 2的半徑分別為2cm和7cm，圓心距O 1 O 2 =13cm，AB是⊙O 1 、⊙O 2的外公切線，切點分別是A、B。求：公切線的長AB。

　　分析：首先想到切線性質，故連結O 1 A、O 2 B，得直角梯形AO 1 O 2 B。一般要把它分解成一個直角三角形和一個矩形，再用其性質。（組織學生分析，教師點撥，規范步驟）

　　解：連結O 1 A、O 2 B，作O 1 A⊥AB，O 2 B⊥AB。

　　過O 1作O 1 C⊥O 2 B，垂足為C，則四邊形O 1 ABC為矩形，于是有

　　O 1 C⊥C O 2，O 1 C= AB，O 1 A=CB。

　　在Rt△O 2 CO 1和。

　　O 1 O 2 =13，O 2 C= O 2 B- O 1 A=5

　　AB= O 1 C= (cm)。

　　反思：

　　（1）“轉化”思想，構造三角形；

　　（2）初步掌握添加輔助線的方法。

　　例2__ 、如圖，已知⊙O 1 、⊙O 2外切于P，直線AB為兩圓的公切線，A、B為切點，若PA=8cm，PB=6cm，求切線AB的長。

　　分析：因為線段AB是△APB的一條邊，在△APB中，已知PA和PB的長，只需先證明△PAB是直角三角形，然后再根據勾股定理，使問題得解。證△PAB是直角三角形，只需證△APB中有一個角是90°(或證得有兩角的和是90°)，這就需要溝通角的關系，故過P作兩圓的公切線CD如圖，因為AB是兩圓的公切線，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP。因為∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此題得解。

　　解：過點P作兩圓的公切線CD

　　∵ AB是⊙O 1和⊙O 2的切線，A、B為切點

　　∴∠CPA=∠BAP　　∠CPB=∠ABP

　　又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°

　　∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°

　　∴∠CPA+∠CPB=90°即∠APB=90°

　　在Rt△APB中，AB 2 =AP 2 +BP 2

　　說明：兩圓相切時，常過切點作兩圓的公切線，溝通兩圓中的角的關系。

　　（五）鞏固練習

　　1、當兩圓外離時，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成(　)

　　(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等邊三角形(D)以上答案都不對。

　　此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(D)

　　2、外公切線是指

　　(A)和兩圓都祖切的直線(B)兩切點間的距離

　　(C)兩圓在公切線兩旁時的公切線(D)兩圓在公切線同旁時的公切線

　　直接運用外公切線的定義判斷。答案：(D)

　　3、教材P141練習（略）

　　（六）小結（組織學生進行）

　　知識：兩圓的公切線、外公切線、內公切線及公切線的長概念；

　　能力：歸納、概括能力和求外公切線長的能力；

　　思想：“轉化”思想。

　　（七）作業：P151習題10，11。

二次函數教案15

　　目標設計

　　1.知識與技能：通過本節學習，鞏固二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質，理解頂點與最值的關系，會用頂點的性質求解最值問題。

　　能力訓練要求

　　1、能夠分析實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題的最大（小）值發展學生解決問題的能力， 學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題。

　　2、通過觀察圖象，理解頂點的特殊性，會把實際問題中的最值轉化為二次函數的最值問題，通過動手動腦，提高分析解決問題的能力，并體會一般與特殊的關系，培養數形結合思想，函數思想。

　　情感與價值觀要求

　　1、在進行探索的活動過程中發展學生的探究意識，逐步養成合作交流的習慣。

　　2、培養學生學以致用的習慣，體會體會數學在生活中廣泛的應用價值，激發學生學習數學的興趣、增強自信心。

　　方法設計

　　由于本節課是應用問題，重在通過學習總結解決問題的方法，故而本節課以“啟發探究式”為主線開展教學活動，解決問題以學生動手動腦探究為主，必要時加以小組合作討論，充分調動學生學習積極性和主動性，突出學生的主體地位，達到“不但使學生學會，而且使學生會學”的目的。為了提高課堂效率，展示學生的學習效果，適當地輔以電腦多媒體技術。

　　教學過程

　　導學提綱

　　設計思路：最值問題又是生活中利用二次函數知識解決最常見、最有實際應用價值的問題之一，它生活背景豐富 ，學生比較感興趣，對九年級學生來說，在學習了一次函數和二次函數圖象與性質以后，對函數的思想已有初步認識，對分析問題的方法已會初步模仿，能識別圖象的增減性和最值，但在變量超過兩個的實際問題中，還不能熟練地應用知識解決問題，而面積問題學生易于理解和接受 ，故而在這兒作此調整，為求解最大利潤等問題奠定基礎。從而進一步培養學生利用所學知識構建數學模型，解決實際問題的能力，這也符合新課標中知識與技能呈螺旋式上升的規律。目的在于讓學生通過掌握求面積最大這一類題，學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題，此部分內容既是學習一次函數及其應用后的鞏固與延伸，又為高中乃至以后學習更多函數打下堅實的理論和思想方法基礎。

　　（一）前情回顧：

　　1.復習二次函數y＝ax2+bx＋c（a≠0）的圖象、頂點坐標、對稱軸和最值

　　2.（1）求函數y＝x2+ 2x－3的最值。

　　（2）求函數y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）

　　3、拋物線在什么位置取最值？

　　（二）適當點撥，自主探究

　　1.在創設情境中發現問題

　　請你畫一個周長為40厘米的矩形，算算它的面積是多少？再和同學比比，發現了什么？誰的面積最大？

　　2、在解決問題中找出方法

　　某工廠為了存放材料，需要圍一個周長40米的矩形場地，問矩形的長和寬各取多少米，才能使存放場地的面積最大？

　　（問題設計思路：把前面矩形的周長40厘米改為40米，變成一個實際問題， 目的在于讓學生體會其應用價值??我們要學有用的數學知識。學生在前面探究問題時，已經發現了面積不唯一，并急于找出最大的，而且要有理 論依據，這樣首先要建立函數模型，合作探究中在選取變量時學生可能會有困難，這時教師要引導學生關注哪兩個變量，就把其中的一個主要變量設為x，另一個設為y，其它變量用含x的代數式表示，找等量關系，建立函數模型，實際問題還要考慮定義域，畫圖象觀察最值點，這樣一步步突破難點，從而讓學生在不斷探究中悟出利用函數知識解決問題的一套思路和方法，而不是為了做題而做題，為以后的學習奠定思想方法基礎。）

　　3、在鞏固與應用中提高技能

　　例1：小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環境，小明的爸爸準備靠墻修建一個矩形花圃 ，他買回了32米長的不銹鋼管準備作為花圃的圍欄（如圖所示），花圃的寬AD究竟應為多少米才能使花圃的面積最大？

　　（設計思路：例1的設計也是尋找了學生熟悉的家門口的生活背景，從知識的角度來看，求矩形面積也較容易，我在此設計了一個條件墻長10米來限制定義域，目的在于告訴學生一個道理，數學不能脫離生活實際，估計大部分學生在求解時還會在頂點處找最值，導致錯解，此時教師再提醒學生通過畫函數的圖象輔助觀察、理解最值的`實際意義，體會頂點與端點的不同作用，加深對知識的理解，做到數與形的完美結合，通過此題的有意訓練，學生必然會對定義域的意義有更加深刻的理解，這樣既培養了學生思維的嚴密性，又為今后能靈活地運用知識解決問題奠定了堅實的基礎。）

　　解：設垂直于墻的邊AD=x米，則AB=（32-2x） 米，設矩形面積為y米2，得到：

　　Y=x（32-2x）= -2x2+32x

　　［錯解］由頂點公式得：

　　x=8米時，y最大=128米2

　　而實際上定義域為11≤x ?16，由圖象或增減性可知x=11米時， y最大=110米2

　　（設計思路：例1的設計也是尋找了學生熟悉的家門口的生活背景，從知識的角度來看，求矩形面積也較容易，我在此設計了一個條件墻長10米來限制定義域，目的在于告訴學生一個道理，數學不能脫離生活實際，估計大部分學生在求解時還會在頂點處找最值，導致錯 解，此時教師再提醒學生通過畫函數的圖象輔助觀察、理解最值的實際意義，體會頂點與端點的不同作用，加深對知識的理解，做到數與 形的完美結合，通過此題的有意訓練，學生必然會對定義域的意義有更加深刻的理解，這樣既培養了學生思維的嚴密性，又為今后能靈活地運用知識解決問題奠定了堅實的基礎。）

　　（三）總結交流：

　　（1）同學們經歷剛才的探究過程，想想解決此類問題的思路是什么？.

　　引導學生分析解題循環圖：

　　（2）在探究發現這些判定方法的過程中運用了什么樣的數學方法？

　　（四）掌握應用：

　　圖中窗戶邊框的 上半部分是由四個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形。如果制作一個窗戶邊框的材料總長為15米，那么如何設計這個窗戶邊框的尺寸，使透光面積最大(結果精確到0.01m2)?（設計思路：先出示如圖圖形，然后引伸到課本中的圖形，讓學生有一個思考遞進的空間。）

　　（五）我來試一試：

　　如圖在Rt△ABC中，點P在斜邊AB上移動，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分別為垂足，已知AC=1，AB=2，求：

　　（1）何時矩形PMCN的面積最大，把最大面積是多少？

　　（2）當AM平分∠CAB時，矩形PMCN的面積.

　　（六）智力闖關：

　　如圖，用長20cm的籬笆，一面靠墻圍成一個長方形的園子，怎樣圍才能使園子的面積最大？最 大面積是多少？

　　作業：課本隨堂練習 、習題1，2，3

　　板書設計

　　二次函數的應用??面積最大問題

　　課后反思

　　二次函數的應用本身是學習二次函數的圖象與性質后，檢驗學生應用所學知識解決實際問題能力的一個綜合考查。新課標中要求學生能通過對實際問題的情境的分析確定二次函數的表達式，體會其意義，能根據圖象的性質解決簡單的實際問題。 本節課充分運用導學提綱，教師提前通過一系列問題串的設置，引導學生課前預習，在課堂上通過對一系列問題串的解決與交流， 讓學生通過掌握 求面積最大這一類題，學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題。

　　教材中設計先探索最大利潤問題，對九年級學生來說，在學習了一次函數和二次函數圖象與性質以后，對函數的思想已有初步認識，對分析問題的方法已會初步模仿，能識別圖象的增減性和最值，但在變量超過兩個的實際問題中，還不能熟練地應用知識解決問題，而面積問題學生易于理解和接受，故而在這兒作此調整，為求解最大利潤等問題奠定基礎。從而進一步培養學生利用所學知識構建數學模型，解決實際問題的能力，這也符合新課標中知識與技能呈螺旋式上升的規律。所以在例題的處理中適當的降低了梯度，讓學生思維有一個拓展的空間，也有收獲快樂 和成就感。在訓練的過程中，通過學生的獨立思考與小組合作探究相結合，使學生的分析能力、表達能力及思維能力都得到訓練和提高。同時也注重對解題方法與解題 模式的歸納與總結，并適當地滲透轉化、化歸、數形結合等數學思想方法。

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