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物理學之數值計算在量子力學教學中的應用及優勢
以下是關于數值計算在量子力學教學中的應用及優勢的論文，希望可以幫助各位物理學的同學哦!
摘要：量子力學一直以來都是高等物理教學的重點和難點。為了避免煩瑣的數學推導，提高學生對量子力學的學習興趣，應將數值計算作為一個虛擬實驗平臺引入到量子力學的教學中。
關鍵詞：量子力學;數值計算;諧振子
一、引言
量子力學是研究微觀粒子運動規律的物理學分支學科，與相對論一起構成了現代物理學的理論基礎[1]。對于高等院校物理專業的學生，量子力學在基礎課程中占有核心地位。通過學習量子力學，可進一步將學生對客觀物質世界的感性認識提升到理性認識。因此，對于高校量子力學教師而言，形象、生動的課堂教學不僅能激發學生的學習興趣，而且還能完善和拓展學生的物理專業知識，從而提高學生的思維水平和培養他們的科研能力。
對于大部分初學者，除了難以理解量子力學中一些與常理相悖的知識外，煩瑣的數學推導使很多同學對量子力學望而生畏。如果高校教師繼續沿用傳統的解析推演、口述筆寫的教學方式，將加大學生學習量子力學的難度。此外，量子力學的授課內容大部分屬于理論知識，受條件的限制，許多高校無法為學生開設實驗課程，這使得學生對抽象的量子力學現象缺乏客觀認識。隨著計算機的不斷發展，很多教師將一些數值計算引入到了量子力學教學中，不僅有效地規避了煩瑣的數學解析推演，而且也能作為量子力學授課的理想實驗平臺，為學生形象地展示量子力學中的一些抽象且難以理解的量子現象和概念[2，3]。因此，為了降低學生學習量子力學的難度，提高學生對量子力學的學習興趣，應鼓勵高校教師將計算機及數值計算搬進量子力學的教學課堂。本文將通過具體的一些量子力學實例來說明數值計算應用于量子力學教學過程中的優勢。
二、數值計算在量子力學教學中的應用實例
我們將以一維勢場中單個粒子的定態及含時演化為例來說明數值計算在量子力學教學中的應用。為了簡單，我們以Matlab軟件作為數值計算的平臺。
例1：一維定態薛定諤方程的數值計算
在量子力學中，描述單個粒子在一維勢場V(x)中運動的定態薛定諤方程如下：
- +Vxψx=Eψx (1)
這里我們假設m=?攸=1。原則上，通過從定態薛定諤方程中求解出波函數ψ(x)，我們可以知道該粒子在勢場V(x)中運動的所有信息。然而，方程(1)是否存在解析解，在很大程度上依賴于勢場V(x)的具體形式。對于較為簡單的勢場，例如大家熟知的無限深勢阱及諧振子勢阱，很容易解析求解方程(1)。相反，如果勢場V(x)的形式比較復雜，如周期勢或雙勢阱，則必須借助于數值計算。因此，當學生學會利用數值計算求解無限深勢阱或諧振子勢阱中的定態薛定諤方程時，則很容易舉一反三的將其推廣至較為復雜的勢場，從而避免了煩瑣的數學問題。
以下是基于Maltab軟件并利用虛時演化方法所編寫的計算定態薛定諤方程的程序：
clearall
N=100;x=linspace(-6，6，N+1);dx=x(2)-x(1);dt=0.001;dxdt=dt/dx^2;
V=0.5*x.^2;%諧振子勢函數
temp=1+dxdt+dt*V;
psi=rand(1，N+1);%初始波函數
psi=psi/sqrt(sum(abs(psi).^2)*dx);%歸一化波函數
psi1=psi;
for k=1：10000000
psi2=zeros(1，N+1);
for m=1：100000000
for j=2：N
psi2(j)=(psi(j)+0.5*dxdt*(psi1(j+1)+psi1(j-1)))/temp(j);
end
emax=max(abs(psi2-psi1));psi1=psi2;
ifemax<1e-8
break
end
end
psi1=psi1/sqrt(sum(abs(psi1).^2*dx));emax=max(abs(psi-psi1));psi=psi1;
ifemax<1e-6 %波函數收斂條件
break
end
end
作為例子，我們利用上述程序分別計算出諧振子和雙勢阱中的基態解。程圖1(a)中展示了諧振子的基態解，從中可以看出，數值計算的結果和精確解一致。對于V (x)= x +ae 的雙勢阱(這里a為勢壘高度，b為勢壘寬度)，由于波函數滿足相同的邊界條件ψ(x→±∞)=0，則只需要將上述程序中的諧振子換成V (x)即可，其基態波函數展示在圖1(b)中。從圖1(b)中可以看出，隨著勢壘高度的增加，粒子穿過勢壘的幾率越來越低。由此可見，利用數值計算能形象地描述粒子在雙勢阱中的勢壘貫穿效應，這降低了學生對該現象的理解難度，同時提高了教師的授課效率。
例2：一維含時薛定諤方程的數值計算
在量子力學中，描述單個粒子在一維勢場V(x)中運動的含時薛定諤方程如下：
i =- +V(x)ψ(x，t) (2)
該方程為二階偏微分方程，對于一般形式的外勢V(x)很難嚴格求解該方程。因此，我們借助時間劈裂傅立葉譜方法進行數值求解，其Matlab程序代碼如下：
clearall
N=200;L=20;dx=L/N;x=(-N/2：N/2-1)*dx; K=2*pi/L;k=fftshift(-N/2：N/2-1)*K;
V=0.5*3*x.^2;
psi=exp(-(x-2).^2);psi=psi/sqrt(sum(abs(psi).^2)*dx);%歸一化初始波函數
t=linspace(0，10，1001);dt=t(2)-t(1);F=exp(-i*0.5*dt*k.^2/2);
for j=1：length(t);
psi=ifft(F.*fft(psi));
psi=exp(-i*V*dt).*psi;
psi=ifft(F.*fft(psi));
U(j，：)=psi;
end
作為例子，我們分別選取了諧振子勢阱的基態波函數和非基態波函數作為時間演化的初始值。從圖2中可以看到，當初始值為基態波函數時，波包的構型并不會隨著時間的演化而發生形變，這說明粒子處于動力學穩定的狀態。相反，當我們將初始波函數的波包中心稍作挪動，則隨著時間的演化，波包將在勢阱中做周期性振蕩。我們可以讓學生利用數值程序證明波包振蕩周期等于諧振子的頻率。此外，如果我們將初始波函數改為諧振子的激發態，并在初始時刻加上一個較小的擾動項，則可利用時間演化程序證明激發態在外界的一定擾動下而變得動力學不穩定。因此，數值程序為我們提供了驗證理論結果的理想實驗平臺，有利于學生對抽象物理概念的理解。
三、結語
基于Matlab軟件，我們以量子力學中的定態和含時薛定諤方程為例來說明數值計算應用于量子力學教學過程中的優勢。數值計算不僅有效避免了煩瑣的數學公式推導，而且也可當作理想的實驗平臺來形象地展示量子力學中一些抽象的物理現象。高校教師借助于數值計算能拓展學生的物理專業知識，提高他們對量子力學的學習興趣，培養他們利用數值計算做一些簡單的科學研究。
參考文獻：
[1]曾謹言.量子力學卷I[M].第五版.北京：科學出版社，2014.
[2]張杰.吸收介質的Mie散射光學特性研究[J].安慶師范學院學報：自然科學版，2003，9(4)：53.
[3]張小偉，趙華.Matlab在量子力學教學中的簡單應用[J].科技信息，2013，(24)
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