數學方法在高中物理電磁學的應用
數學方法在高中物理電磁學的應用【1】
【摘 要】數學方法是科學方法中重要的一種，它不僅被物理學廣泛應用，而且也成為其它眾多自然學科的重要方法。
高中物理電磁學內容多、難度大，且在高考理綜考試中所占比重較大，這些內容涉及到的試題經常要用到一定的數學知識，那么如果能夠靈活運用這些數學方法來處理電磁學問題，將能起到事半功倍的效果。
本文就這個問題談談函數法、不等式法、圖象法及幾何法等在高中物理電磁學中的應用。
【關鍵詞】數學方法;高中物理;電磁學
1.引言
國家高考物理科考試大綱明確提出考生應具備的第四種能力“應用數學處理物理問題的能力：能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據結果得出物理結論，能運用幾何圖形、函數圖像進行表達、分析”，這里所要考查的就是要有靈活運用數學方法處理物理問題的能力。
所謂數學方法，就是在科學技術工作中，把客觀事物的狀態關系和過程用數學語言表達出來，進行推導、演算和分析，以形成對問題的判斷、解釋和預言的方法。
下面就以電磁學為例談談幾種數學方法在高中物理電磁學中的應用。
2.函數法
在電磁學問題中，經常需要確定兩個物理量間的變化所對應關系(包括極值問題)，這就需要利用函數思想來完成，同時函數也是進行物理推導判斷的重要數學工具。
在高中物理電磁學中主要用到的是一次函數、一元二次函數和三角函數。
2.1一次函數的應用
在電磁學問題中用到的一次函數有形如y=ax或y=ax/(ax+b)a≠0，b≠0形式。
一次函數y=ax描述的是y與x之間呈線性關系，比如在靜電場中討論F與E、U與d、Q與U等兩個量間的關系用的就是這種函數。
觀察函數y=ax/(ax+b(a≠0，b≠0))不難發現，分子分母都有未知量x(自變量)，如果x增加(減小)，則分子、分母都同時增加(減小)，這樣無法確定因變量y的變化情況。
但是如果把分子、分母都同時除以x，函數就變為y=a/(a+b/x)關系就非常明朗了，y隨x的增大而增大，y隨x的減小而減小。
這種一次函數在討論閉合電路中路端電壓隨外電阻變化等類似問題中經常有用到。
例1：設一個閉合電路中，電源電動勢為E，內阻為r，外電路為純電阻電路電阻為R，路端電壓為U外，試討論當R發生變化時，U外如何變化?
分析與解：這類問題既可用閉合電路歐姆定律E=U外+Ir(間接法，較易，本文不做討論)求解，也可用部分電路歐姆定律(直接法)求解。
如果用直接法如何討論呢?根據部分電路歐姆定律有U外=IR①，又由閉合電路歐姆定律有I=E/(R+r)②，把②代入①有U外=ER/(R+r)，這就轉化成了形如一次函數y=ax/(ax+b)，故U外=ER/(r+R)=E/(1+r/R)可見U外隨R的增大而增大，隨R的減小而減小。
因此當外電路斷開即R→∞時，有U外=E，此為直接測量法測電源電動勢的依據;當外電路短路時即R→0，故。
U外=0。
2.2一元二次函數的應用
在處理外電路為純電阻電路中電源輸出功率隨外電路電阻變化規律以及討論滑動變阻器分壓接法電路中■或■示數變化情況等類似問題，可以把電阻這個動態變化物理量轉化成二次函數y=ax2+bx+c形式，將這個函數進行配方整理有：y=a(x+b/2a)2-(4ac-b2)/4a，可見當x=-b/2a時，y有最值(4ac-b2)/4a。
當a>0時，y有最小值，當a<0時，y有最大值。
例2：如圖1所示，電源電動勢E=6V，內阻為r=1?萃，滑動變阻器R的總阻值為11?萃，固定電阻R0=3?萃，求當滑動變阻器從a到b過程中，■的讀數范圍。
分析與解：令■讀數I，并設ap部分電阻為x，則pb部分電阻為11-x，根據閉合電路歐姆定律及并聯電路的電流分配關系：I=6/(R并+11-x+r)×3/(x+3)=18/(-(x-6)2+72)
可見當x=0時，Imax=0.5A，x=6?萃時，Imax=0.25A，故■示數范圍為從0.25A到0.5A連續變化
3.不等式法
不等式可用在半定量討論、推斷及求解極值問題，如在討論等量同種電荷中垂線上場強大小變化、某些并聯電路中■或■示數變化以及在兩大小材料均相同的同種電荷接觸后放回原處過程中庫侖力大小變化問題中，如果條件滿足均可以運用重要不等式a+b≥2■(a、b均為正數)或a+b+c≥33■討論最值：當和有定值，則積有最大值;反之當積有定值，則和有最小值。
例3.如圖3所示，已知R1=2?萃，R2=3?萃，滑動變阻器的最大值R3=5?萃，則當滑動片P從a滑到b過程中，電流表示數的最小值為多少?
分析與解：由閉合電路歐姆定律可知電流表示數有最小值時，外電路電阻有最大值，設ap部分電阻為x，則bp部分為5-x，1/R并=1/(2+x)+1/(3+(5-x))，化簡可得R并=(2+x)(8-x)10，令a=2+x，b=8-x，而a+b=10，故當且僅當a=b即2+x=8-x亦即x=3?萃時ab≤(a+b)/4，故有(2+x)(8-x)≤(102/4)?萃=25?萃，所以■示數最小值Imin.=2A。
4.幾何法
在處理靜電場中某帶電體受到庫侖力、重力、拉力等三個共點力的動態平衡問題時，如果直接運用平衡條件結合力的分解(正交分解)處理該類問題，過程非常繁瑣，這里可充分運用帶電體(質點)所受力的矢量三角形與對應另一個由長度組成的純標量三角形相似，這就是應用了平衡條件中相似三角形法，然后根據題目條件可在短時間內快速準確解決要討論的問題。
例5：一根絕緣細線下拴一帶電小球A，細線上的上端固定在天花板上，在懸點正下方某適當位置，固定另一帶同種電荷小球B，A靜止時，懸線與豎直方向成θ角，如圖6所示。
現緩慢增加B的帶電量使θ角逐漸增大，則有關A球所受力的變化，下列說法正確的是( )
A.懸線的拉力大小不變 B.懸線拉力逐漸增大
C.庫侖力逐漸增大 D.庫侖力大小可能不變
分析與解：設懸線長為L，如圖7所示，掛在細線下端的小球在重力、細線拉力和電荷之間的庫侖斥力這三個力的作用下處于平衡狀態。
由平衡條件的相似三角形可知：△OAB～△ACD，即L/G=L/F=AB/F，可見細線的拉力T=G不變，而庫侖力隨著AB的增大而增大。
故本題正確答案為AC。
6.結論
數學方法在高中物理電磁學中應用廣泛而且巧妙，本文主要描述了函數法、不等式法、圖象法及幾何法，但有時在解決某些復雜電磁學問題時可能要用到上述這些方法中的兩種或兩種以上，甚至還可能用到其它方法如極限法。
因此，在解題時可通過聯想、數理結合、數形結合來靈活地選擇合適的數學方法來解決電磁學問題，這將對提高解決電磁學問題的能力大有裨益。
【參考文獻】
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數學方法在高中物理中的應用【2】
我們研究數學在物理中的應用不僅是為了提高學生的成績，更是為了提高學生利用數學知識處理實際問題的能力，隨著新課程的深入，學科之間的貫穿不斷加強，數學與物理的整合也日益緊密。
新的物理學科的考試說明要求學生加強應用數學知識處理問題的能力，如利用函數關系、不等式關系、判別式法求極植問題，將物理現象抽象轉化為數學表達式求軌跡等。
如能適當、巧妙地運用數學知識解決物理問題，往往可以達到另辟奚徑、曲徑通幽的效果。
掌握科學的方法比掌握科學知識更重要。
在物理教學中，科學思維方法是學生獲得知識，提高能力的橋和船，它能為學生的成功創造更多的機會和途徑。
一、用數學方法定義物理概念，推導物理定律、原理
數學是定義物理概念表達物理規律的最簡潔、最精確、最概括、最深刻的語言，許多物理概念和規律都要以數學形式(公式或圖像)來表述，也只有利用了數學表述，才便于進一步運用它來分析、推理、論證，才能廣泛地定量地說明問題和解決問題。
1.用數學的方法來定義物理概念，在此舉例來說明。
在中學物理中常用到的比值定義法。
所謂比值定義法就是用兩個基本的物理量的“比”來定義一個新的物理量的方法。
比值法定義的基本特點是被定義的物理量往往是反映物質最本質的屬性，它不隨定義所用的物理量的大小取舍而改變。
如：密度、壓強、速度、加速度，功率、電場強度，電容等物理量的定義。
2.用數學知識來推導物理公式。
物理學中常常利用數學知識研究問題，以高中物理“直線運動”這一章為例，就要用極限概念和圖像研究速度、加速度和位移;用代數法和三角法研究運動規律和軌跡;用矢量運算法則研究位移與速度的合成和分解等。
另外，物理學中常常運用數學知識來推導物理公式或從基本公式推導出其它關系式，這樣既可以使學生獲得新知識，又可以幫助他們領會物理知識間的內在聯系，加深理解。
二、用數學方法處理物理問題
在中學物理學習中常用的數學方法可以分為圖像法、極值法、近似計算法、微元法等各類。
1.圖像法
物理圖像是一種非常形象的數字語言和工具，利用它可以很好地描述物理過程，反映物理概念和規律，推導和驗證新的規律，物理圖像不僅可以使抽象的概念形象化，還可以恰當地表示語言難以表達的內涵，用圖像解物理問題，不但迅速、直觀，還可以避免復雜的運算過程。
2.極值法
極值法是在物理模型的基礎上借助數學手段和方法，從數學的極值法角度進行分析、歸納的數學處理方法。
物理極值問題的討論中常用的極值法有：三角函數極值法，二次函數的極值法，一元二次方程的判別式法等。
3.微元法
微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。
它是將研究對象(物體或物理過程)進行無限細分，從其中抽取某一微小單元即“元過程”，進行討論，每個“元過程”所遵循的規律是相同的。
對這些“元過程”進行必要的數學方法或物理思想處理，進而使問題求解。
如：用微元法推導勻變速直線運動位移與時間關系。
做勻變速直線運動的物體，其速度與時間圖線下面四邊形的面積可以表示其位移。
這一結論的得出就需要用微元法思想。
三、應用數學方法來分析、解決物理問題時應該注意的一些問題
1.物理公式中運用數學知識時，一定要使學生弄清物理公式或圖像所表示的物理意義，不能單純地從抽象的數學意義去理解物理問題。
2.表達物理概念或規律的公式都有自己的適應條件，在運用數學解決物理問題時，一定要使學生弄清物理公式的適用條件和應用范圍。
例如，真空中庫侖定律的公式只適用于兩個相對靜止的點電荷。
由此可見，求得數學的解后，再從物理的角度進行討論分析，把數學的解還原成符合實際的物理的解這一過程，是十分重要的，這也是解題過程中最容易疏漏的地方。
“它山之石，可以攻玉”。
在現階段大力提倡學生綜合能力的時代浪潮中，強調在物理教學中有機結合數學知識，能很好地培養學生理解、掌握和運用所學知識的能力。
也可將數學知識運用于物理教學作為現階段各科知識大綜合的演練平臺，為提高學生的綜合能力推波助瀾。
數學方法在高中物理中的運用【3】
【關鍵詞】數學方法 高中物理 物理規律 解題能力
物理學是應用數學方法最充分、最成功的一門學科，數學思想方法是解決物理問題的重要工具，在高中物理中時常存在數學方法的影子。
學生在解題的過程中，除面對物理知識的考查和理解外，可能也面臨著數學方法、數學知識的考驗，而有時數學方法的使用對問題的解決起到關鍵的作用。
本文就高中物理解題中用到的典型的數學方法進行歸納。
一、正余弦函數在高中物理中的應用
(2012安徽理綜)圖1是交流發電機模型示意圖。
在磁感應強度為B的勻強磁場中，有一矩形線圈abcd可繞線圈平面內垂直于磁感線的軸OO′轉動，由線圈引出的導線ae和df分別與兩個跟線圈一起繞OO′轉動的金屬環相連接，金屬環又分別與兩個固定的電刷保持滑動接觸，這樣矩形線圈在轉動中就可以保持和外電路電阻R形成閉合電路。
圖2是線圈的主視圖，導線ab和cd分別用他們的橫截面積來表示。
已知ab長度為L1，bc長度為L2，線圈以恒定角速度ω逆時針轉動。
(只考慮單匝線圈)
1.線圈平面處于中性面位置時開始計時，試推導t時刻整個線圈中的感應電動勢e1的表達式;
2.線圈平面處于與中性面成φ0夾角位置開始計時，如圖3所示，試寫出t時刻整個線圈中的感應電動勢e2的表達式;
3.若線圈電阻為r，求線圈每轉動一周電阻R上產生的焦耳熱。
(其他電阻均不計)
【分析與解答】
1.(如圖4)線圈abcd轉動過程中，只有ab和cd切割磁感線，設ab、cd的轉動速度為v，則v=ω。
在t時刻，導線ab和cd因為切割磁感線產生的感應電動勢方向相同，大小均為E1=BL1v2。
由圖象可知，v⊥=vsinωt。
整個線圈在t時刻產生的感應電動勢為：e1=2E1=BL1L2ωsinωt。
2.當線圈由圖2位置開始轉動時，在t時刻線圈的感應電動勢為e2=BL1L2ω
sin(ωt+φ0)。
3.由閉合電路的歐姆定律，得I=。
E為線圈中產生感應電動勢的有效值，E==。
線圈轉動一周在R上產生的焦耳熱Q=I2RT，其中T=，所以Q=πRω()2。
【說明】本題考查了交流電流的產生和變化規律以及交流電路中熱能的計算，主要運用到了數學里的正弦函數來處理物理問題。
不僅正弦交流電的電動勢和電流瞬時值，機械振動的位移時間關系、機械波波動圖象等，這些周期性的復雜的過程用正余弦函數表示卻會變得非常簡單明了。
二、不等式法在高中物理中的應用
例1：(2010高考理綜)在一次國際城市運動會中，要求運動員從高為H的平臺上A點由靜止出發。
沿著動摩擦因數為μ的滑道向下運動到B點后水平滑出，最后落在水池中。
設滑道的水平距離為L，B點的高度h可由運動員自由調節(取g=10 m/s2)。
求：
(1)運動員到達B點的速度與高度h的關系;
(2)運動員要達到最大水平運動距離，B點的高度h應調為多大?對應的最大水平距離SBH為多少?
(3)若H=4m，L=5m，動摩擦因數μ=0.2，則水平運動距離要達到7m，h值應為多少?
【分析與解答】
【說明】很明顯，在第二問中就用到了不等式求極值的方法，而第二步的結論又直接影響到了第三問的解答，所以數學方法的應用是本題的一個難點，也體現了數學方法的重要性。
例2：(2012廣東理綜，36)圖5所示的裝置中，小物塊A、B質量均為m，水平面上PQ段長為l，與物塊間的動摩擦因素為u，其余段光滑。
初始時，擋板上的輕質彈簧處于原長;長為r的連桿位于圖中虛線位置;A緊靠滑桿(A、B間距大于2r)。
隨后，連桿以角速度ω勻速轉動，帶動滑桿做水平運動，滑桿的速度―時間圖象如圖6所示。
A在滑桿推動下運動，并在脫離滑桿后與靜止的B發生完全非彈性碰撞。
(1)求A脫離滑桿時的速度v0及A和B碰撞過程的機械能損失ΔE。
(2)如果AB不能與彈簧相碰，設AB從P點運動到停止所用的時間為t1，求ω的取值范圍，及t1與ω的關系式。
(3)如果AB能與彈簧相碰，但不能返回到P點左側，設每次壓縮彈簧過程中彈簧的最大彈性勢能為Ep，求ω的取值范圍，及Ep與ω的關系式(彈簧始終在彈性限度內)。
【分析解答】
【說明】本題是一道很典型物理問題與不等式結合的題目，主要在臨界情況應用不等式極值。
不等式不僅在運動學題目中應用廣泛，在電學題目中也占有很大的比重。
有時不等式不僅用于求解物理量的范圍，還在分析物理的動力學過程中起著重要作用。
例3：在豎直面內圓周運動的臨界問題分析。
物體在豎直面內做圓周運動是一種典型的變速曲線運動，該類運動常有臨界問題，并伴有“最大”“最小”“剛好”等詞語，常分析兩種模型――輕繩模型和輕桿模型，分析如下表所示：
【說明】由以上例子可見不等式不僅在求解范圍極限這樣的題型中用到，在一些臨界情況的分析中不等式法更有得天獨厚的優勢，可見不等式與物理的結合能力也是學生分析問題時必不可少的。
三、極值法在高中物理中的應用
例1：一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以3m/s2的加速度開始行駛。
恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車。
汽車從路口開動后，在追上自行車之前過多長時間兩車相距最遠?此時距離是多少?
【分析與解答】
經過時間t后，自行車做勻速運動，其位移為s1=vt①
汽車做勻加速運動，其位移為s2=at2② 兩車相距為：Δs=s1-s2=vt-at2=6t-t2③
因為上式是一個關于t的二次函數，因二次項系數為負值，故Δs有最大值。
當t=-==2s時④
Δs有最大值。
例2：如圖7所示，底邊恒定為b，當斜面與底邊所成夾角為多大時，物體沿此光滑斜面由靜止從頂端滑到底端所用時間最短?
【分析與解答】設斜面傾角為θ時，斜面長為S，物理受力如圖8所示，由圖知
【說明】以上兩例分別是利用二次函數公式求極值、利用三角函數的有界性求極值。
物理知識和數學知識靈活地結合，為解決物理學中的極值問題提供了方便，也體現了數學方法在處理物理問題上的優越性。
四、幾何知識在高中物理中的應用
例1：如圖9所示，在懸點O處用長為L的細繩拉著質量為m的小球，小球在半徑為R的光滑半球面靜止，已知懸點離半球面的豎直高度為h，試求半球對小球的支持力和繩對小球的拉力。
【分析與解答】小球的受力如圖五所示，三個力中任意兩個力都不垂直，且三個力構成的三角形中各角都是未知的，但是三角形的的各邊長度已知。
說明：由于三個力構成的三角形各角都是未知的，所以三角形邊角關系法、正交分解法均不適用于此題，但是，ΔO′OA中各邊長度已知，所以運用相似三角形法可將問題解決。
例2：房內高處有白熾燈S(點光源)，如果在S所在位置沿著垂直墻壁BC的方向扔出一個小球A，如圖11所示，請描述A在BC上的影子沿著BC的運動情況。
由于影子的高度H′與時間的一次方成正比，所以影子做勻速直線運動。
【說明】本題解題的關鍵是畫出光路圖，在幾何關系中找準關系，然后應用物理規律解決，光學中的絕大多數題目都不可避免地要應用幾何知識，本題就是一個典型的例子。
五、數列知識、比例法在高中物理中的應用
例1：(2011重慶理綜，25)某儀器用電場和磁場來控制電子材料表面上方的運動，如圖所示，材料表面上方矩形區域PP′N′N充滿豎直向下的勻強電場，寬度為d;矩形區域NN′M′M充滿垂直紙面向里的勻強磁場，磁場強度為B，廠為3s，寬為s;NN′為磁場和電場之前的薄隔離層。
一個電荷量為e、質量為m、初速度為零的電子，從P點開始被電場加速經隔離層垂直進入磁場，電子每次穿越隔離層，運動方向不變，其動能損失是每次穿越前動能的10%，最后電子僅能從磁場邊界M′N′飛出。
不計電子所受重力。
(1)求電子第二次與第一次圓周運動半徑之比;
(2)求電場強度的取值范圍;
(3)A是M′N′的中點，若要使電子在A、M′間垂直于AM′飛出，求電子在磁場區域中運動的時間。
【分析與解答】
(1)設圓周運動的半徑分別為R1、R2、……、Rn、Rn+1…，第一和第二次圓周運動速率分別為v1和v2，動能分別為Ek1和Ek2。
【說明】該題主要考查帶電粒子在分離的電磁場中的運動，輔助考查在磁場中運動的臨界問題。
本題的解答運用到了數列知識和不等式的知識。
在習題教學中運用數列法解題時，必須根據物理原理，先確定其中某幾項(前幾項或后幾項)，然后用遞推的方法找出其通用公式，確定物理規律。
涉及數列知識的題目多數在直線運動中出現，復雜的但有規律的運動或者動量中多次碰撞的情況也涉及數列知識。
例2：列車從車站出發做勻加速直線運動，一位旅客站在站臺上列車的最前端，測得第一節車廂經過他身旁的時間是3秒，假設各節車廂長度相同且不計車廂連接處的長度，則第9節車廂經過他身旁需要多少時間?
【說明】本題按照常規的解法計算會相當麻煩，但是利用比例的方法就能很簡單地解決，這就要求學生具有對數學表達的深刻觀察力和善于利用比例的能力。
教學實踐證明，數學方法在高中物理中的應用無論是過去、現在還是將來都扮演著十分重要的角色。
在處理物理問題時，若能充分借助數學工具的作用，則對激發學生的學習興趣，培養學生創新精神和創新能力，提高學生解決實際問題的能力起到積極的作用。
總之，在物理教學中有效地利用數學，數理結合，能提升高中物理教學的有效性。
因此，我們在平時的教學實踐中，應從分析物理現象著手，把物理、數學知識有機結合起來，融會貫通，培養學生的綜合應用能力。
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