高考導數題型總結

時間：2025-11-08 09:26:36 學習總結

高考導數題型總結

　　高考導數題型總結【1】

高考導數題型總結

　　1.導數的常規問題：

　　(1)刻畫函數(比初等方法精確細微);

　　(2)同幾何中切線聯系(導數方法可用于研究平面曲線的切線);

　　(3)應用問題(初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡便)等關于次多項式的導數問題屬于較難類型。

　　2.關于函數特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數法求最值要比初等方法快捷簡便。

　　3.導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。

　　知識整合

　　1.導數概念的理解。

　　2.利用導數判別可導函數的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值。

　　復合函數的求導法則是微積分中的重點與難點內容。課本中先通過實例，引出復合函數的求導法則，接下來對法則進行了證明。

　　3.要能正確求導，必須做到以下兩點：

　　(1)熟練掌握各基本初等函數的求導公式以及和、差、積、商的求導法則，復合函數的求導法則。

　　(2)對于一個復合函數，一定要理清中間的復合關系，弄清各分解函數中應對哪個變量求導

　　高考導數題型總結【2】

　　首先，關于二次函數的不等式恒成立的主要解法：

　　1、分離變量;2變更主元;3根分布;4判別式法

　　5、二次函數區間最值求法：(1)對稱軸(重視單調區間)

　　與定義域的關系(2)端點處和頂點是最值所在

　　其次，分析每種題型的本質，你會發現大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應用數形結合思想”，創建不等關系求出取值范圍。

　　最后，同學們在看例題時，請注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎

　　一、基礎題型：函數的單調區間、極值、最值;不等式恒成立;

　　1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：

　　第一步：令得到兩個根;

　　第二步：畫兩圖或列表;

　　第三步：由圖表可知;

　　其中不等式恒成立問題的實質是函數的最值問題，

　　2、常見處理方法有三種：

　　第一種：分離變量求最值-----用分離變量時要特別注意是否需分類討論(>0,=0,<0)

　　第二種：變更主元(即關于某字母的一次函數)-----(已知誰的范圍就把誰作為主元);

　　例1：設函數在區間D上的導數為，在區間D上的導數為，若在區間D上，恒成立，則稱函數在區間D上為“凸函數”，已知實數m是常數，

　　(1)若在區間上為“凸函數”，求m的取值范圍;

　　(2)若對滿足的任何一個實數，函數在區間上都為“凸函數”，求的最大值.

　　解:由函數得

　　(1)在區間上為“凸函數”，

　　則在區間[0,3]上恒成立

　　解法一：從二次函數的區間最值入手：等價于

　　解法二：分離變量法：

　　∵當時,恒成立,

　　當時,恒成立

　　等價于的最大值()恒成立，

　　而()是增函數，則

　　(2)∵當時在區間上都為“凸函數”

　　則等價于當時恒成立

　　變更主元法

　　再等價于在恒成立(視為關于m的一次函數最值問題)

　　請同學們參看2010第三次周考：

　　例2：設函數

　　(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值;

　　(Ⅱ)若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍.

　　(二次函數區間最值的例子)

　　解：(Ⅰ)

　　令得的單調遞增區間為(a,3a)

　　令得的單調遞減區間為(-，a)和(3a，+)

　　∴當x=a時，極小值=當x=3a時，極大值=b.

　　(Ⅱ)由||≤a，得：對任意的恒成立①

　　則等價于這個二次函數的對稱軸(放縮法)

　　即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數的最值問題：單調增函數的最值問題。

　　上是增函數.(9分)

　　∴

　　于是，對任意，不等式①恒成立，等價于

　　又∴

　　點評：重視二次函數區間最值求法：對稱軸(重視單調區間)與定義域的關系

　　第三種：構造函數求最值

　　題型特征：恒成立恒成立;從而轉化為第一、二種題型

　　例3;已知函數圖象上一點處的切線斜率為，

　　(Ⅰ)求的值;

　　(Ⅱ)當時，求的值域;

　　(Ⅲ)當時，不等式恒成立，求實數t的取值范圍。

　　解：(Ⅰ)∴，解得

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減

　　又

　　∴的值域是

　　(Ⅲ)令

　　思路1：要使恒成立，只需，即分離變量

　　思路2：二次函數區間最值

　　二、題型一：已知函數在某個區間上的單調性求參數的范圍

　　解法1：轉化為在給定區間上恒成立，回歸基礎題型

　　解法2：利用子區間(即子集思想);首先求出函數的單調增或減區間，然后讓所給區間是求的增或減區間的子集;

　　做題時一定要看清楚“在(m,n)上是減函數”與“函數的單調減區間是(a,b)”，要弄清楚兩句話的區別：前者是后者的子集

　　例4：已知，函數.

　　(Ⅰ)如果函數是偶函數，求的極大值和極小值;

　　(Ⅱ)如果函數是上的單調函數，求的取值范圍.

　　解：.

　　(Ⅰ)∵是偶函數，∴.此時，，

　　令，解得：.

　　列表如下：

　　(-∞,-2)

　　-2

　　(-2,2)

　　(2,+∞)

　　遞增

　　極大值

　　遞減

　　極小值

　　遞增

　　可知：的極大值為，的極小值為.

　　(Ⅱ)∵函數是上的單調函數，

　　∴，在給定區間R上恒成立判別式法

　　則解得：.

　　綜上，的取值范圍是.

　　例5、已知函數

　　(I)求的單調區間;

　　(II)若在[0，1]上單調遞增，求a的取值范圍。子集思想

　　(I)

　　1、

　　當且僅當時取“=”號，單調遞增。

　　2、

　　單調增區間：

　　(II)當則是上述增區間的子集：

　　1、時，單調遞增符合題意

　　2、，

　　綜上，a的取值范圍是[0，1]。

　　三、題型二：根的個數問題

　　題1函數f(x)與g(x)(或與x軸)的交點======即方程根的個數問題

　　解題步驟

　　第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”(即解導數不等式)和“趨勢圖”即三次函數的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”;

　　第二步：由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式(組);主要看極大值和極小值與0的關系;

　　第三步：解不等式(組)即可;

　　例6、已知函數，，且在區間上為增函數.

　　求實數的取值范圍;

　　若函數與的圖象有三個不同的交點，求實數的取值范圍.

　　解：(1)由題意∵在區間上為增函數，

　　∴在區間上恒成立(分離變量法)

　　即恒成立，又，∴，故∴的取值范圍為

　　(2)設，

　　令得或由(1)知，

　　①當時，，在R上遞增，顯然不合題意…

　　②當時，，隨的變化情況如下表：

　　—

　　↗

　　極大值

　　↘

　　極小值

　　↗

　　由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即∴，解得

　　綜上，所求的取值范圍為

　　根的個數知道，部分根可求或已知。

　　例7、已知函數

　　(1)若是的極值點且的圖像過原點，求的極值;

　　(2)若，在(1)的條件下，是否存在實數，使得函數的圖像與函數的圖像恒有含的三個不同交點?若存在，求出實數的取值范圍;否則說明理由。高1考1資1源2網

　　解：(1)∵的圖像過原點，則，

　　又∵是的極值點，則

　　(2)設函數的圖像與函數的圖像恒存在含的三個不同交點，

　　等價于有含的三個根，即：

　　整理得：

　　即：恒有含的三個不等實根

　　(計算難點來了：)有含的根，

　　則必可分解為，故用添項配湊法因式分解，

　　十字相乘法分解：

　　恒有含的三個不等實根

　　等價于有兩個不等于-1的不等實根。

　　題2：切線的條數問題====以切點為未知數的方程的根的個數

　　例7、已知函數在點處取得極小值-4，使其導數的的取值范圍為，求：(1)的解析式;(2)若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍.

　　(1)由題意得：

　　∴在上;在上;在上

　　因此在處取得極小值

　　∴①，②，③

　　由①②③聯立得：，∴

　　(2)設切點Q，

　　過

　　令，

　　求得：，方程有三個根。

　　需：

　　故：;因此所求實數的范圍為：

　　題3：已知在給定區間上的極值點個數則有導函數=0的根的個數

　　解法：根分布或判別式法

　　例8、

　　解：函數的定義域為(Ⅰ)當m=4時，f(x)=x3-x2+10x，

　　=x2-7x+10，令，解得或.

　　令，解得

　　可知函數f(x)的單調遞增區間為和(5，+∞)，單調遞減區間為.

　　(Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6,

　　要使函數y=f(x)在(1，+∞)有兩個極值點,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1，+∞)

　　根分布問題：

　　則，解得m>3

　　例9、已知函數，(1)求的單調區間;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且僅有3個極值點，求a的取值范圍.

　　解：(1)

　　當時，令解得，令解得，

　　所以的遞增區間為，遞減區間為.

　　當時，同理可得的遞增區間為，遞減區間為.

　　(2)有且僅有3個極值點

　　=0有3個根，則或，

　　方程有兩個非零實根，所以

　　或

　　而當或時可證函數有且僅有3個極值點

　　其它例題：

　　1、(最值問題與主元變更法的例子).已知定義在上的函數在區間上的最大值是5，最小值是-11.

　　(Ⅰ)求函數的解析式;

　　(Ⅱ)若時，恒成立，求實數的取值范圍.

　　解：(Ⅰ)

　　令=0,得

　　因為，所以可得下表：

　　↗

　　極大

　　↘

　　因此必為最大值,∴因此，，

　　即，∴，∴

　　(Ⅱ)∵，∴等價于，

　　令，則問題就是在上恒成立時，求實數的取值范圍，

　　為此只需，即，

　　解得，所以所求實數的取值范圍是[0，1].

　　2、(根分布與線性規劃例子)

　　(1)已知函數

　　(Ⅰ)若函數在時有極值且在函數圖象上的點處的切線與直線平行,求的解析式;

　　(Ⅱ)當在取得極大值且在取得極小值時,設點所在平面區域為S,經過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分,求直線L的方程.

　　解：(Ⅰ).由,函數在時有極值,

　　∴

　　∵∴

　　又∵在處的切線與直線平行,

　　∴故

　　∴…………………….7分

　　(Ⅱ)解法一:由及在取得極大值且在取得極小值,

　　∴即令,則

　　∴∴故點所在平面區域S為如圖△ABC,

　　易得,,,,,

　　同時DE為△ABC的中位線,

　　∴所求一條直線L的方程為:

　　另一種情況設不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分,設直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G,則,

　　由得點F的橫坐標為:

　　由得點G的橫坐標為:

　　∴即

　　解得:或(舍去)故這時直線方程為:

　　綜上,所求直線方程為:或.…………….………….12分

　　(Ⅱ)解法二:由及在取得極大值且在取得極小值,

　　∴即令,則

　　∴∴故點所在平面區域S為如圖△ABC,

　　易得,,,,,

　　同時DE為△ABC的中位線,∴所求一條直線L的方程為:

　　另一種情況由于直線BO方程為:,設直線BO與AC交于H,

　　由得直線L與AC交點為:

　　∵,,

　　∴所求直線方程為:或

　　3、(根的個數問題)已知函數的圖象如圖所示。

　　(Ⅰ)求的值;

　　(Ⅱ)若函數的圖象在點處的切線方程為，求函數f(x)的解析式;

　　(Ⅲ)若方程有三個不同的根，求實數a的取值范圍。

　　解：由題知：

　　(Ⅰ)由圖可知函數f(x)的圖像過點(0,3)，且=0

　　得

　　(Ⅱ)依題意=–3且f(2)=5

　　解得a=1,b=–6

　　所以f(x)=x3–6x2+9x+3

　　(Ⅲ)依題意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a>0)

　　=3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①

　　若方程f(x)=8a有三個不同的根，當且僅當滿足f(5)<8a

　　由①②得–25a+3<8a<7a+3

　　所以當

　　4、(根的個數問題)已知函數

　　(1)若函數在處取得極值，且，求的值及的單調區間;

　　(2)若，討論曲線與的交點個數.

　　解：(1)

　　………………………………………………………………………2分

　　令得

　　∴的單調遞增區間為，，單調遞減區間為…………5分

　　(2)由題得

　　即

　　令……………………6分

　　令得或……………………………………………7分

　　當即時

　　此時，，，有一個交點;…………………………9分

　　當即時，

　　—

　　∴當即時,有一個交點;

　　當即時，有兩個交點;

　　當時，，有一個交點.………………………13分

　　綜上可知，當或時，有一個交點;

　　當時，有兩個交點.…………………………………14分

　　5、(簡單切線問題)已知函數圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數.

　　(Ⅰ)若函數在處有極值，求的解析式;

　　(Ⅱ)若函數在區間上為增函數，且在區間上都成立，求實數的取值范圍.

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