單位圓與正弦函數教案

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單位圓與正弦函數教案

　　1 單位圓與正弦函數

單位圓與正弦函數教案

　　在初中，我們學習了銳角α的正弦函數值：sinα＝，如圖：sinA＝，由于a是直角邊，c是斜邊，所sinA∈(0，1)。由于我們通常都是將角放到平面直角坐標系中，我們來看看會發生什么？

　　在直角坐標系中，（如圖所示），設角α（α∈（0，））的終邊與半經為r的圓交于點P（a，b），則角α的正弦值是：sinα＝ .根據相似三角形的知識可知，對于確定的角α，都不會隨圓的半經的改變而改變。為簡單起見，令r＝1(即為單位圓)，那么sinα＝b，也就是說，若角α的終邊與單位圓相交于P，則點P的縱坐標b就是角α的正弦函數。

　　直角三角形顯然不能包含所有的角，那么，我們可以仿照銳角正弦函數的定義．你認為該如何定義任意角的正弦函數?

　　一般地，在直角坐標系中（如上圖），對任意角α，它的終邊與單位圓交于點P（a，b），我們可以唯一確定點P（a，b）的縱坐標b，所以P點的縱坐標b是角α的函數，稱為正弦函數，記作＝sinα(α∈R)。通常我們用x，分別表示自變量與因變量，將正弦函數表示為＝sinx.正弦函數值有時也叫正弦值.

　　請同學們畫圖，并利用正弦函數的定義比較說明：角與角的終邊與單位圓的交點的縱坐標有什么關系？它們的正弦值有什么關系？角和角呢？－角和角呢？－角和－角呢？

　　sin =sin = sin =-sin =-

　　Sin(- )=sin( )= sin(- )=sin(- )=

　　通過上述問題的討論，容易得到：終邊相同的角的正弦函數值相等，即

　　sin(2π＋α)＝sinα (∈Z)，說明對于任意一個角α，每增加2π的整數倍，其正弦函數值不變。所以，正弦函數是隨角的變化而周期性變化的，正弦函數是周期函數，2π（∈Z，≠0）為正弦函數的周期。

　　2π是正弦函數的正周期中最小的一個，稱為最小正周期。一般地，對于周期函數f(x)，如果它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫作f(x)的最小正周期。

　　【鞏固深化，發展思維】

　　1．若點P(—3，)是α終邊上一點，且sinα＝— ，求值．【】

　　2．若角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在函數＝—3x (x≤0)的圖像上，則sinα＝。【】

　　（三）、歸納整理，整體認識：