初三數學教案正切和余切
初三數學教案 正切和余切
一、教學目標
1.使學生了解正切、余切的概念,能夠正確地用 、 表示直角三角形(其中一個銳角為 )中兩邊的比,了解 與 成倒數關系,熟記30、45、60角的各個三角函數值,會計算含有這三個非凡銳角的三角函數值的式子,會由一個非凡銳角的三角函數值說出這個角的度數,了解一個銳角的正切(余切)值與它的余角的余切(正切)值之間的關系。
2.逐步培養學生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力。
3.培養學生獨立思考、勇于創新的精神。
二、學法引導
1.教學方法:運用類比法指導學生探索研究新知。
2.學生學法:運用類比法主動探索研究新知。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點:了解正切、余切的概念,熟記非凡角的正切值和余切值。
2.難點:了解正切和余切的概念。
3.疑點:正切與余切概念的混淆.
4.解決辦法:通過類比引出概念和性質,再通過大量直接應用,鞏固概念和性質。
四、教具預備
投影機、投影片(自制)、三角板
五、教學步驟
(一)明確目標
1.什么是銳角 的正弦、余弦?(結合下圖回答)。
2.填表
3.互為余角的正弦值、余弦值有何關系?
4.當角度在0~90變化時,銳角的正弦值、余弦值有何變化規律?
5.我們已經把握一個銳角的正弦(余弦)是指直角三角形中該銳角的對邊(鄰邊)與斜邊的比值,那么直角三角形中,兩直角邊的比值與銳角的關系如何呢?在銳角三角函數中,除正、余弦外,還有其他一些三角函數,本節課我們學習正切和余切。
(二)整體感知
正切、余切的概念,也是本間的重點和關鍵,是全章知識的基礎,對學生今后的學習或工作都十分重要,教材在繼第一節正弦和余弦后,又以同樣的順序安排第二節正切余切,像這樣,把概論、計算和應用分成兩塊,每塊自與一個整體小循環,第二循環又包含了第一循環的內容,可以有效地克服難點,同時也使學生通過對比,便于把握銳角三角函數的有關知識。
(三)教學過程
1.引入正切、余切概念
①本節課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關系,因此同學們首先應思考:當銳角固定時,兩直角邊的比值是否也固定?
因為學生在研究過正弦、余弦概念之后,已經接觸過這類問題,所以大部分學生能口述證實,并進一步猜測兩直角邊的比值一定是正切和余切。
②給出正切、余切概念。
如圖,在 中,把 的對邊與鄰邊的比叫做 的正切,記作 。
即
并把 的鄰邊與對邊的比叫做 的余切,記作 ,
即
2. 與 的關系
請學生觀察 與 的表達式,得結論 (或 , )這個關系式既重要又易于把握,必須讓學生深刻理解,并與 區別開.
3.銳角三角函數
由上圖, , , , ,把銳角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的銳角三角函數。
銳角三角函數概念的給出,使學生茅塞頓開,初步理解本節題目。
問:銳角三角函數能否為負數?
學生回答這個問題很輕易。
4.非凡角的三角函數。
①教師出示幻燈片
請同學推算30、45、60角的正切、余切值。(如下圖)
;
;
;
;
;
.
通過學生計算完成表格的過程,不僅復習鞏固了正切、余切概念,而且使學生熟記非凡角的正切值與余切值,同時滲透了數形結合的數學思想。
0,90正切值與余切值可引導學生查正切和余切表,學生完全能獨立查出。
5.根據互為余角的正弦值與余弦值的關系,結合圖形,引導學生發現互為余角的正切值與余切值的關系。
結論:任意銳角的正切值等于它的余角的余切值,任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。
即 , .
練習:1)請學生回答 與 的值各是多少? 與 ? 與 呢?學生口答之后,還可以為程度較高的學生設置問題: 與 有何關系?為什么? 與 呢?
2)把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切:
(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) 。
6.例題
例1求下列各式的值:
(1) ;
(2) .
解:(1)
;
(2)
=2.
練習1.求下列各式的值:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
2.填空:
(1)
(2)若 ,則銳角
(3)若 ,則銳角
學生的計算能力可能不很強,尤其是分式,二次根式的運算,因此這里應查缺補漏,以培養學生運算能力。
(四)總結擴展
請學生小結:本節課了解了正切、余切的概念及 與 關系.知道非凡角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關系.本課用到了數形結合的數學思想.
結合 及 ,可擴展為 .
六、布置作業
1.看教材P12~P14,培養學生看書習慣。
2.教材P16中習題6.2A組2、3、4、5、6.
七、板書設計
第二課時
一、教學目標
1.鞏固正、余切概念,學會用正、余切來解決問題.
2.通過例題教學,培養學生分析問題、解決問題的能力; 通過歸納、概括,培養學生邏輯思維能力。
3.培養學生獨立思考、勇于創新的精神及良好的學習習慣。
二、學法引導
1.教學方法:指導探索研究法。
2.學生學法:主動探索研究法。
三、重點、難點、疑點及解決辦法
1.重點:用正、余切解直角三角形。
2.難點:靈活運用正切、余切。
3.疑點:學生可能對正切、余切概念把握不牢,導致出現 之類的錯誤,教學中應引起重視,使學生熟能生巧。
4.解決辦法:通過教師精心引導,學生積極思維,主動研究發現,及練習鞏固解決重難點及疑點。
四、教具預備
投影機(或電腦)、自制投影片(或課件)、三角板
五、教學步驟
(一)明確目標
結合圖,說出什么是 的正切、余切?
請班級里較差學生回答,以檢測其把握情況.
2. 與 具有什么關系?
答: (或 或 ).
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系?
答: ,
3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系?
答: ,
4.在0~90間,正切、余切值隨角度變化而變化的規律是什么?
通過以上四個問題,使學生對新學的知識有了系統的熟悉,便于應用.
對概念的鞏固最好的途徑是配備練習題.因此,教師在引導學生復習有關概念后,應出示練習題(投影片).
1.在 中, 為直角, 、 、 所對的邊分別為 。
①若 , ,則 , , ,
②若 ,則
2.比較大小:
① ②
③ ④
3.計算題:
① ;
② .
(二)整體感知
本課安排在本小節末,運用本小節的知識去解決一個簡單問題,再次為本章第二節解直角三角形做好預備.當然,這個問題只用上一小節學過的正弦、余弦也可以解決,不過那樣做,就要先求出斜邊 ,解的過程要繁瑣一些。
(三)教學過程
1.講授新課
例在 中, 為直角, 所對的邊分別是 ,已知 , ,求 (保留兩位有效數字).
這個題是本大節知識的綜合運用,考查知識點面面俱到,是檢查全體學生是否全面達到教學目標要求有效途徑,教學中應引導學生全體參與,積極地探求各種解法,然后加以比較,優選出最佳方法,以培養學生思維的靈敏性、深刻性,形成良好的思維品質。
分析:本題已知 和 ,求 ,觀察圖不難發現,邊 恰好是 的對邊與鄰邦邊,因此求 可選用以下兩個關系式:(1) ,(2) .
請學生比較一下,哪一個關系計算更簡便呢?答:若選用 ,由此得 ,用 除以含四位有效數字的數,計算比較麻煩;而選用 ,由此得 .用 乘以含四位有效數字的數,計算相對方便.
解: ,
解完例題之后,應引導學生小結:本題顯示了除法與乘法在一定條件下可以互相轉化,其中條件是 與 互為倒數.認真分析和利用這種轉化,有時可使計算簡便.
2.鞏固練習
本節課實際上是對前面課的綜合,通過對前面知識的綜合運用,以培養學生的比較、分析、概括等邏輯思維能力.因此例題后應安排練習題如下:
在 中, 為直角, 、 、 所對的邊分別為 .
(1)已知 , ,求 和 .
(2)已知 , ,求 和 .
(3)已知 , ,求 .
(4)已知 , ,求 .
(5)已知 , ,求 .
(6)已知 , ,求 和 (保留兩位有效數字).
教法說明:給學生足夠的時間,引導學生討論、研究,篩選出最佳關系式使計算簡便,既培養學生計算能力,鞏固所學知識,又能培養學生的思維能力.
[參考答案](1) , ;(2) , ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) , .
3.對學有余力的學生,可引導其讀教材P15想一想.使學生對正弦、余弦間的關系,正切、余切間的關系以及弦、切間的關系有所了解,保證知識的完整性,為高中三角函數的學習打下基礎.教師板書
.
(四)總結、擴展
引導學生總結:1.要認真分析直角三角形中的各邊與角的三角函數關系.2.因為同一個角的正切和余切可以互相轉化,所以在選用關系時晝選擇乘法使計算較簡便.
六、布置作業
1.看教材P1~P17,培養學生看書習慣。
2.教材P17習題A組7、8,學有余力的學生可選做B組題。
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