簡單線性規劃教案例題解析

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　　例2(教材本小節例2)

簡單線性規劃教案例題解析

　　例3某工廠生產甲、乙兩種產品．已知生產甲種產品1 t需耗A種礦石10 t、B種礦石5 t、煤4 t；生產乙種產品需耗A種礦石4 t、B種礦石4 t、煤9 t．每1 t甲種產品的利潤是600元，每1 t乙種產品的利潤是1 000元．工廠在生產這兩種產品的計劃中要求消耗A種礦石不超過300 t、B種礦石不超過200 t、煤不超過360 t，甲、乙兩種產品應各生產多少(精確到0.1 t)，能使利潤總額達到最大？

　　原料/10 g蛋白質/單位鐵質/單位

　　設甲、乙兩種原料分別用10x g和10 g，則需要的費用為z＝3x＋2；病人每餐至少需要35單位蛋白質，可表示為5x＋7≥35；同理，對鐵質的要求可以表示為10x＋4≥40，這樣，問題成為在約束條件5x＋7≥35，10x＋4≥40，x≥0，≥0下，求目標函數z＝3x＋2的最小值．

　　甲乙合計

　　解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和分鐘，總收益為z元．

　　例3某人承攬一項業務，需做文字標牌2個，繪畫標牌3個，現有兩種規格的原料，甲種規格每張3 2，可做文字標牌1個，繪畫標牌2個，乙種規格每張2 2，可做文字標牌2個，繪畫標牌1個，求兩種規格的原料各用多少張，才能使總的用料面積最小？

　　混合烹調包裝

　　每種糖果的生產過程中，混合的設備至多能用12小時，烹調的設備至多能用30小時，包裝的設備至多能用15小時，試求每種糖果各生產多少箱可獲得最大利潤？

　　已知庫房中現有甲、乙兩種鋼板的數量分別為5張和10張，市場急需A、B兩種規格的成品數分別為15塊和27塊．

　　(1)問各截這兩種鋼板多少張可得到所需的成品數，且使所用的鋼板張數最少？

　　(2)若某人對線性規劃知識了解不多，而在可行域的整點中隨意取出一解，求其恰好取到最優解的概率．

　　解：設需截甲、乙兩種鋼板的張數分別為x、，則2x＋≥15，x＋3≥27，0≤x≤5，0≤≤10，

　　作出可行域如圖．

　　(1)因為目標函數為z＝x＋(x、為整數)，所以在一組平行直線x＋＝t(t為參數)中，經過可行域內的整點且與原點距離最近的直線是x＋＝12，其經過的整點是(3,9)和(4,8)，它們都是最優解．

　　(2)因為可行域內的整點個數為8，而最優解有兩個，所以所求的概率為p＝28＝0.25.

　　答：兩種鋼板的張數分別為3、9或4、8，概率為0.25.

　　二、利潤的線性預測

　　問題：某企業2013年的利潤為5萬元，2014年的利潤為7萬元，2015年的利潤為8萬元．請你根據以上信息擬定兩個不同的利潤增長直線方程，從而預測2017年企業的利潤，請問你幫該企業預測的利潤是多少萬元？

　　解：建立平面直角坐標系，2013年的利潤為5萬元，對應的點為A(0,5)，2014年的利潤為7萬元，2015年的利潤為8萬元分別對應點B(1,7)和C(2,8)，那么

　　(1)過A、B兩點的直線作為預測直線l1，其方程為＝2x＋5，這樣預測2017年的利潤為13萬元．

　　(2)過A、C兩點的直線作為預測直線l2，其方程為＝32x＋5，這樣預測2017年的利潤為11萬元．

　　(3)過B、C兩點的直線作為預測直線l3，其方程為＝x＋6，這樣預測2017年的利潤為10萬元．

　　(4)過A及線段BC的中點E(32，152)的直線作為預測直線l4，其方程為＝53x＋5，這樣預測2003年的利潤約為11.667萬元．

　　(5)過A及△ABC的重心F(1，203)(注：203為3年的年平均利潤)的直線作為預測直線l5，其方程為＝53x＋5，這樣預測2017年的利潤為11.667萬元．

　　(6)過C及△ABC的重心F(1，203)(注：203為3年的年平均利潤)的直線作為預測直線l6，其方程為＝43x＋163，這樣預測2017年的利潤為10.667萬元．

　　(7)過A及以線段BC的斜率BC＝1作為預測直線斜率，則預測直線l7的方程為＝x＋5，這樣預測2017年的利潤為9萬元．

　　(8)過B及以線段AC的斜率AC＝32作為預測直線斜率，則預測直線l8的方程為＝32x＋112，這樣預測2017年的利潤為11.5萬元．

　　(9)過C及以線段AB的斜率AB＝2作為預測直線斜率，則預測直線l9的方程為＝2x＋4，這樣預測2017年的利潤為12萬元．

　　(10)過A及以線段AB的斜率AB與線段AC的斜率AC的平均數作為預測直線斜率，則預測直線l10的方程為＝74x＋5，這樣預測2017年的利潤為12萬元．

　　還有其他方案，在此不一一列舉．

　　點評：(1)讀完以上的各種預測方案后，請你先思考兩個問題：

　　①第(5)種方案與第(4)種方案的結果完全一致，這是為什么？

　　②第(7)種方案中，BC的現實意義是什么？

　　(2)本題可從以下兩個方面進一步拓展，其一是根據以上的基本解題思路，提出新的方案，如方案(6)過△ABC的重心F(1，203)，找出以為斜率的直線中與A、C兩點距離的平方和最小的直線作為預測直線；其二是根據以上結論及你自己的答案估計利潤的范圍，你預測的利潤頻率出現最多的是哪一個值？你認為將你預測的結論作怎樣的處理，使之得到的利潤預測更有效？如果不要求用線性預測，你能得出什么結果？

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